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\begin{document}
%\bibpunct{(}{)}{;}{a}{,}{,}

 \title{Densidade crítica no modelo de percolação em rede de Bethe não-homogênea}

% \author{Heliton R. Tavares$^1$, \hspace{5 mm} Maria R. Madruga$^1$, \hspace{5 mm} Raimundo N. Souza$^1$,    \\ Valcir J. C. Farias$^1$, Terezinha Oliveira$^1$}


% \author
%    {H.R. TAVARES%
%     \thanks{heliton@ufpa.br, Faculdade de Estatística/PPGME, UFPA, Universidade Federal do
%     Pará, 66.075-110 Belém, PA, Brasil,}\;,
%%
%     R.N.C. SOUZA%
%     \thanks{nonato-de-souza@hotmail.com, Programa de Pós-Graduação em Matemática e Estatística,  UFPA, Universidade Federal do
%     Pará, 66.075-110 Belém, PA, Brasil,}\;,
%%     \\
%     M.R. MADRUGA%
%     \thanks{madruga@ufpa.br, Faculdade de Estatística/PPGME, UFPA, Universidade Federal do
%     Pará, 66.075-110 Belém, PA, Brasil,}\;,
%%
%     V.J.C. FARIAS%
%     \thanks{valcir@ufpa.br, Faculdade de Estatística/PPGME, UFPA, Universidade Federal do
%     Pará, 66.075-110 Belém, PA, Brasil,}\\\,
%%
%     }

\author{}

 \criartitulo
 \runningheads {Tavares et al.}{Rede de Bethe não-homogênea}


\begin{abstract}
{\bf Resumo}.  Neste trabalho tratamos de um modelo percolação
não-homogênea na rede de Bethe cuja probabilidade de um elo no
nível $n$ estar aberto muda de acordo com $n$. Este modelo pode
ser apropriado para situações onde o meio muda sua densidade de
forma sistemática, tal como a proliferação de insetos que dependem
da temperatura e umidade, que variam entre dia e noite.
Consideramos o caso onde a probabilidade de um elo $e_n$ do nível
$n$ estar aberto é dada pela função senóide $\overline{p}(e_n)=$
$p \hspace{0.1cm} +(1-p)| \sen (n)|$. Para este modelo
apresentarmos resultados de simulações Monte-Carlo que indicam um
comportamento da função de percolação com transição de fase de
segunda ordem em $p_{c}$, mas provamos analiticamente a existência
de um ponto crítico não trivial, apresentando a expressão para a
obtenção desta probabilidade crítica.
\end{abstract}

\vspace{6 mm} {\raggedright {\bf Palavras chave:} Percolação
não-homogênea, Rede de Bethe, Ponto crítico .}
\newline

{\raggedright {\bf AMS subject classifications:} $60A10,60K35$}
\newline

{\raggedright {\bf Título curto:} Rede de Bethe não-homogênea}
\newline


\newpage
\section{Introdução}


A Teoria da Percolação trata do fenômeno da propagação de um
fluido em meio poroso, seja água ou gás no interior de uma rocha.
\cite{broadbent1957percolation} propuseram o primeiro modelo deste
fenômeno. Desde então, muitos outros modelos têm sido propostos
para representar o meio poroso. Nos últimos anos, grande progresso
tem sido alcançado relativamente às técnicas usadas para resolver
problemas de percolação, e também substancial expansão dos modelos
de percolação e suas aplicações em várias áreas do conhecimento
científico, tais como física, química, biologia, geologia,
engenharia, e muitas outras. Existem modelos que consideram a
expansão de incêndios florestais, enquanto outros consideram o
crescimento de tumores em organismos vivos ou condução de
eletricidade em materiais semicondutores. Usualmente o modelo
considera o sistema como um meio homogêneo, de forma que a medida
de probabilidade $p$ é constante para todos os elos da rede.
Porém, no mundo real existem vários sistemas não totalmente
homogêneos, havendo uma componente sistemática tal que o modelo
ideal pode ser baseado em um sistema composto não uniforme de
probabilidade para todo meio. A probabilidade $\overline{p}(.)$
pode variar em função do espaço ou do tempo, por exemplo.


A rede de Bethe ou árvore Cayley foi introduzida em
\cite{bethe1935statistical} no contexto da mecânica estatística.
Ela pode ser usada para fazer aproximação de modelos de percolação
em grandes dimensões. Em geral, a rede de Bethe é definida como um
grafo $\mathbb{G}=(\mathbb{V},\ \mathbb{E})$, onde $\mathbb{V}$ é
um conjunto de pontos, também chamados vértices ou sítios, e
$\mathbb{E}=(e_{xy})$ é o conjunto não ordenado de pares de
vértices distintos  $e_{xy}$, chamados elos ou arestas (veja
\cite{braga2005critical}, por exemplo). Então, a rede de Bethe é
um grafo onde qualquer vértice está conectado com $r$ outros, onde
$r$ é chamado de {\it número de coordenação}. Vamos denotar por
$B_{r}$ a rede de Bethe com número de coordenação $r$ (veja a
Figura 1 para ilustração de $B_{3})$. Na Figura 1(a) pode ser
visto a estrutura das árvores que emanam de um vértice central, e
todos os vértices estão organizados em níveis sequenciais em torno
de um vértice central. O vértice central pode ser chamado de raiz
ou origem da rede. A Figura 1(b) mostra uma representação
alternativa similar à água saindo de uma fonte.

Em $B_{r}$ a distância de qualquer vértice $x$ até a origem é
conhecida como nível do vértice e é denotada por $l(x)$. Sendo
$e_{x}$ um elo qualquer finalizado em $x$, diremos que este
pertence ao nível $l(x)$. Por simplidade de notação, vamos
representar por $e_n$ todos os elos $e_x$ tais que $l(x)=n$.

É usual considerar o subgrafo $B_{r}(n)$ de $B_{r}$, formado pelos
vértices $x$ tal que $l(x)\leq n$ e pelos elos conectados a estes
vértices. O conjunto $B_{r}(n)$ é conhecido por ser a rede de
Bethe com ``volume finito''. A fronteira de $B_{r}(n)$, denotada
por $\partial B_{r}(n)$, é o conjunto de todos os vértices do
nível $n$, e podemos ver que o número de vértices até $n$ é igual
a $|\partial B_{r}(n)|=r(r-1)^{n-1}$ pela representação da Figura
\ref{fig:repres}(a), e igual a $(r-1)^{n}$ pela representação da
Figura \ref{fig:repres}(b).



%\includegraphics[width=125.81mm,height=54.74mm]{./ArticleExistencia1_images/image001.eps}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=.6]{bethe1.eps}
\includegraphics[scale=.9]{bethe5.eps}\\
(a) Representação circular  \hspace{24 mm}(b) Representação alternativa

\caption{Rede de Bethe} \label{fig:repres}
\end{center}
\end{figure}

Na rede de Bethe homogênea, a cada elo $e\in E$ associamos uma
variável aleatória independente $X_{e}$ com distribuição de
Bernoulli com parâmetro $p$ que chamamos de {\it medida de
probabilidade}. Se $X_{e}=1$ diremos que $e$ está {\it aberto},
caso contrário $e$ está {\it fechado}. Para $x,\ y\in B_{r}$,
diremos que $x$ está conectado a $y$ e denotamos por
$x\stackrel{p}{\leftrightarrow} y$ se existir uma sequência de
vértices distintos $x=x_{0},\ x_{1},\ \cdots,\ x_{n}=y$, tais que
os elos $e_{x_{i-1},x_{i}},\ i=1,\ \cdots,\ n$, estejam abertos. A
{\it função de conectividade}, denotada por $\tau_{xy}(p)$, é a
probabilidade dos vértices $x$ e $y$ estarem conectados por um
caminho de elos abertos, i.e., $\tau_{xy}(p)=P(\{x \con y\})$.
Podemos mostrar que a função conectividade em $B_{r}$ decresce
exponencialmente quando $||x-y||\rightarrow\infty$ para todo $p<1$
\citep{braga2005critical}. Isto pode ser facilmente visto, pois
$\tau_{xy}(p)=\exp(-||x-y||/\zeta(p))$, com $\zeta(p)=(-\log
(p))^{-1}$. A função $\zeta(p)$ é usualmente referida como {\it
comprimento de correlação}. Portanto, em uma rede de Bethe, o
comprimento de correlação é finito para todo $0<p<1$.

O  {\it Aglomerado da Origem} $(\textbf{O})$ é definido por
$C(p)=\{x\in B_{r}:\textbf{O} \con x\}$ e a {\it função
probabilidade de percolação} é dada por
$\theta(p)=P_{p}(|C(p)|=\infty)$, onde $|C(p)|$ representa o
número de vértices em $C(p)$. Diremos que {\it ocorreu percolação}
se $|C(p)|=\infty$.


Outra importante definição é a esperança matemática do aglomerado,
também conhecida como \emph{susceptibilidade}, dada por $\chi
(p)=E(C(p))=\sum_{x\in B_{r}}\tau_{0x}(p)$. Associado a $\chi(p)$
e $\theta(p)$ há \emph{expoentes críticos}, $\gamma$ e $\beta$,
tais que $\chi(p) \approx (p - p_c)^\gamma$ quando $p \uparrow
p_c$, e $\theta(p) \approx (p - p_c)^\beta$ quando $p \downarrow
p_c$, no sentido que $-\log \chi(p)/\log (p-p_c) \rightarrow
\gamma$ e $-\log \theta(p)/\log (p-p_c) \rightarrow \beta$.

\section{Resultados importantes na rede de Bethe}

\hspace{5 mm}O caso $r=2$ não é teoricamente interessante, pois se
$p<1$ teremos uma infinidade de elos fechados à direita e à
esquerda da origem, tais que $\theta(p)=0$ se $p<1$. Então,
concluímos que $p_{c}=1$, e não ocorre a transição de fase. Para
$r\geq 3$ pode ser provado que existe um $p_{c}\in(0,1)$, tal que
$\theta(p)=0$ para $p<p_{c}$ e $\theta(p)>0$ para $p>p_{c}$. A
forma da função $\theta(p)$ para $p>p_{c}$ pode ser obtida
implicitamente por $1-\theta(p)=(1-p\theta(p))^{r-1}$. Para $r=3$
temos que $\theta(p)=1-[(1-p)/p]^2$ e para $r=4$,
$\theta(p)=(3-\sqrt{4/p-3})/(2p)$, por exemplo. Sabemos que
$p_{c}=1/(r-1)$ e que $\theta(p_{c})=0$.  Neste sentido, seja
$S_r^\bullet(n,p)$ uma variável aleatória representando o número
de vértices no nível $n \geq 1$ com caminho de elos abertos até a
origem, com $S_r^\bullet(0,p)\equiv 1$. Temos que a distribuição
de $S_r^\bullet(n,p)\;|\;\{S_r^\bullet(n-1,p)=x\}$ é
$Binomial(x(r-1),p)$ e sua esperança é
$\mathbb{E}(S_r^\bullet(n,p)|[S_r^\bullet(n-1,p)] =
S_r^\bullet(n-1,p)(r-1)p$. Com isto, temos que
%
\begin{equation}
\mathbb{E}(S_r^\bullet(n,p))=[(r-1)p]^n
\begin{cases} \rightarrow 0 & \text{ para } \;
n\uparrow \infty \text{ se } p < \frac{1}{r-1} \\
%
=1 &  \text{
se } p=\frac{1}{r-1} \\
%
\rightarrow \infty & \text{ para } \; n\uparrow \infty \text{ se } p
> \frac{1}{r-1}.
\end{cases} \label{Eq:Umean}
 \end{equation}

Notemos que se $\mu$ é o número esperado de elos abertos partindo
da origem (ou qualquer outro vértice), temos que $\mu=(r-1)p$.
Portanto, se $\mu\leq 1$ o sistema não percola, e se $\mu>1$
teremos probabilidade positiva de percolação. Resultados gerais
podem ser obtidos em Galton-Watson branching process
\citep{haccou2005branching,bruss1984note, bollobas2014bootstrap}.

Se considerarmos $\theta_n(p)$ a probabilidade da origem estar
conectada a fronteira $\partial B_r(n)$, dada por
$\theta_n(p)=P_p\{O \con \partial B_r(n)\}$, então a função
probabilidade de percolação pode se escrita como o limite de
$\theta_n(p)$ quando $n \rightarrow \infty$. Para $r=3$ no nível
$n=1$ temos $\theta_1(p)=p(2-p)$; para $n=2$ temos
$\theta_2(p)=4p^2-2p^3-4p^4+4p^5-p^6$. De modo geral, seja
%
\[c_{ij}^{(n)}=P(S_r^\bullet(n,p)=j|S_r^\bullet(n-1,p)=i) \quad \text{and}\quad u_{j}^{(n)}=P(S_r^\bullet(n,p)=j)\]
%
as probabilidades condicional e incondicional (abandonaremos $p$
e $r$ para facilitar a notação), e $\Cb^{(n)}=(c_{ij}^{(n)})$
é a representação matricial com $|\partial B_{r}(n)|+1$ linhas e
$|\partial B_{r}(n-1)|+1$ colunas; do mesmo modo,
$\ub^{(n)}=(u_{j}^{(n)})_{j\geq 0}$ é o vetor de
$|\partial B_{r}(n)|+1$. Então, podemos escrever para $n\geq 1$,
%
\begin{eqnarray*}
\ub^{(n)}&=&\Cb^{(n)}\times \ub^{(n-1)}\\
         &=&\Cb^{(n)}\times \Cb^{(n-1)} \times \Cb^{(n-2)} \times \cdots \times
         \Cb^{(1)} \times\Cb^{(0)}\\
         &=& \prod_{k=0}^n \Cb^{(n-k)}
\end{eqnarray*}

\noindent com $\Cb^{(0)}=\ub^{(0)}\equiv(0,1)'$. Para $r=3$ e
fazendo $q=1-p$, temos que


\begin{equation*} \scriptsize
%
\Cb^{(1)}=\begin{pmatrix} 1 & q^2 \\ 0 & 2pq \\ 0 & p^2
\end{pmatrix},\;\;
%
\Cb^{(2)}=\begin{pmatrix} 1 & q^2 & q^4\\ 0 & 2pq & 4pq^3\\
0 & p^2 & 6p^2q^2 \\ 0 & 0 & 4p^3q \\ 0 & 0 & p^4
\end{pmatrix} \;\; \text{\normalsize{e}} \;\; \\
\end{equation*}

\begin{equation*} \scriptsize
\Cb^{(3)}=\begin{pmatrix}
 1 & q^2 & q^4 & q^6 & q^8 \\
 0 & 2pq & 4pq^3 & 6pq^5 & 8pq^7\\
 0 & p^2 & 6p^2q^2 & 15p^2q^4 & 28p^2q^6 \\
 0 & 0 & 4p^3q & 20p^3q^3 & 56p^3q^5\\
 0 & 0 & p^4 & 15p^4q^2 & 70p^4q^4\\
 0 & 0 & 0 & 6p^5q & 56p^5q^3 \\
 0 & 0 & 0 & p^6 & 28p^6q^2 \\
 0 & 0 & 0 & 0 & 8p^7q^1 \\
 0 & 0 & 0 & 0 & q^8
\end{pmatrix}.
\label{Cn}
\end{equation*}

As colunas de $\Cb^{(n)}$ são o desenvolvimento de $(q+p)^k$ em termos
binomiais para $k\in \{|\partial B_{r}(0)|,|\partial
B_{r}(1)|, \cdots,|\partial B_{r}(n)|\}$. Então, $\Cb^{(n-1)}$ é uma submatriz de $\Cb^{(n)}$, $n\geq 1$,
como podemos ver acima.

O primeiro elemento de $\ub^{(n)}$ é a probabilidade condicional
de não existir nenhum vértice ocupado no nível $n$.  Assim, podemos escrever $\theta_n(p)=1-u_0^{(n)}$.




Podemos notar que para $n$ pequeno ($n>1$), a função $\theta_n(p)$
tem formato tipo $S$ em [0,1], ficando mais íngreme em $p_c$
quando $n$ cresce. A Figura~\ref{fig:thetan} mostra o
comportamento de $\theta_n(p)$ para $r=3$ e vários valores de $n$.
Obter o limite quando $n\rightarrow\infty$ do ponto de inflexão
das curvas $\theta_n(p)$ é um dos métodos usados para determinar o
ponto crítico do sistema, resolvendo $\partial^2 \theta_n(p)/
\partial p = -\partial^2 u_0^{(n)}/ \partial p^2=0$ \citep{vogel2010bond}.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
%\includegraphics[width=75.18mm,height=36.58mm]{Probabilidade.eps}
\includegraphics[scale=0.7]{thetan6.eps}
\caption{Função probabilidade $\theta_n(p)$ para
$r=3$.}\label{fig:thetan}

\end{center}
\end{figure}

\section{Percolação não-homogênea}

\hspace{5 mm}Na percolação não-homogênea normalmente supõe-se que
elos do mesmo tipo têm a mesma probabilidade de estarem abertos.
Por exemplo, na rede quadrada ($\mathbb{S}$) os elos são
naturalmente divididos em duas classes, horizontal e vertical, com
probabilidades $p_h$ e $p_v$, respectivamente. Nas redes
triangular ($\mathbb{T}$) e hexagonal ($\mathbb{H}$) os elos podem
ser descritos em três classes, com probabilidades $p_0, p_1$ e
$p_2$. Denotamos a medida de probabilidade associada à rede
$\mathbb{S}$ por $\theta_{\mathbb{S}}(\pb)$ onde $\pb = (p_{h},
p_{v})$. Nas redes triangular e hexagonal, a medida é definida por
$\pb = (p_{0}, p_{1}, p_{2})$, com funções de probabilidade
$\theta^{\mathbb{T}}(\pb)$ e $\theta^{\mathbb{H}}(\pb)$. Em
qualquer rede, temos agora uma superfície critica $K^+(\pb)$, ao
invés de pontos críticos, satisfazendo $K^+(\pb) = 0$ (veja
\cite{grimmett1999percolation}, \cite{kesten1982percolation} e
\cite{grimmett2013inhomogeneous}):
%\vspace{0.3cm}
%
\begin{eqnarray*}
 K^{\mathbb{S}}(\pb) &=& p_{h} + p_{v} - 1\\
 K^{\mathbb{T}}(\pb) &=&p_{0} + p_{1} + p_{2} - p_{0}p_{1}p_{2} - 1\\
 K^{\mathbb{H}}(\pb) &=&-K^{\mathbb{T}} (1 - p_{0}, 1 - p_{1}, 1 - p_{2}).
\end{eqnarray*}

%\vspace{0.3cm}

%
%\hspace{5 mm}Em algumas áreas, a fase crítica tem um particular
%comportamento. Trabalhos recentes em mecânica estatística considerando as propriedades de sistemas magnéticas tem forte correlação em rede de Bethe estabelecendo que o campo magnético pode afetar a temperatura crítica abaixo com demorada variação na ordem de mudança de fase, visto em \cite{MAN}. Em \cite{LAU}, o autor discute a quebra da fase de simetria quantum na fase de transição na rede de Bethe no contexto do modelo de escala ferromagnética esférica. Em
%\cite{Nachmias} o autor mostra que a percolação num grafo Cayley não susceptível de alto grau não tem fase uma única, ou seja, o grafo Cayley não susceptível de alto grau possui $p_c < p_u$ e
%campo médio de exponentes.

\section{Percolação em ondas: modelando a probabilidade não-homogênea $\overline{p}(.)$}


A maioria dos modelos de percolação propostos na literatura
considera que a probabilidade de um elo qualquer da rede estar
aberto é constante para todo meio, ou possui dois ou três
posspiveis valores de acordo com sua categoria, o que talvez não
se aproxime da realidade em alguns casos. Por exemplo, o caso
biológico do avanço de tumores em organismos vivos em diferentes
condições imunológicas ou tipos celulares, ou o caso de um
incêndio florestal onde em uma certa região mais úmida, a
probabilidade do fogo se espalhar é menor que em outra região mais
seca, onde a probabilidade é naturalmente maior. Neste modelo, a
altitude, também pode ser considerada importante variável. No
estudo da infiltração de fluidos (gasolina, por exemplo) no solo,
este pode ter regiões mais compactas, correspondendo a baixa
probabilidade, e regiões mais permeáveis, correspondendo a maior
probabilidade. Esta probabilidade pode ser modelada em função do
tempo ou distância da origem.%, como na Figura \ref{fig:wave}.

%\begin{figure}[h]
%\begin{center}
%%\includegraphics[width=75.18mm,height=36.58mm]{Probabilidade.eps}
%\includegraphics[scale=0.6]{ondasagua3.eps}
%\caption{Meio em ondas}\label{fig:wave}
%
%\end{center}
%\end{figure}

Neste sentido, consideremos que um elo $e_n$ no nível $n$ da rede
de Bethe tem probabilidade de estar aberto dada por
\begin{equation}
\overline{p}(e_n)=p+(1-p)| \sen (n)|. \label{pe}
\end{equation}

Com esta estrutura, que denominaremos por \emph{modelo de ondas
senóide}, precisamos avaliar o comportamento da probabilidade de
percolação e a probabilidade crítica em funçao de $p$, a densidade
mínima que a rede pode assumir. O valor numérico de
$\overline{p}(e_n)$ será igual a $p$ periodicamente nos níveis $n$
múltiplos de 180, porque teremos $ \sen(n)=0$. Também,
$\overline{p}(e_n)$ será periodicamente igual a 1, nos níveis $n$
tal que $n =90+180k,\ k=0,1,2,\ \cdots$. Em todos os outros elos,
$\overline{p}(e_n)$ estará sempre entre $p$ e 1.

É claro que $\overline{p}(e)  \ge p, \forall e\in \mathbb{E}$. Tal
como no caso regular, para todo elo $e\in \mathbb{E}$ associamos
uma variável aleatória independente $X_{e}^*$ com distribuição
Bernoulli de parâmetro $\pe$. Por acoplamento, temos que $X_{e}^*
\geq X_{e}$ e por analogia,  $C^*, \theta^*(p)$ e $p_c^*$. Temos,
portanto, que

\begin{equation}
 C \subset C^*, \quad \theta^*(p) \geq \theta(p) \quad \text{e} \quad p_c^* \leq
p_c.
\end{equation}

%\section{The probability of percolation function}

Antes de obtermos analiticamente as principais característica
deste modelo, apresentaremos alguns resultados obtidos por
simulações Monte Carlo para estimar a função $\theta^*(p)$.
Usaremos $M=10^{6}$ replicas do processo de percolação para vários
valores de $p$ de zero até 1 com incremento de 0.001. O nível
máximo da rede de Bethe será $n =10^{5}$.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
%\includegraphics[width=75.18mm,height=36.58mm]{Probabilidade.eps}
\includegraphics[scale=0.5]{thetar3a6.eps}
\caption{Probabilidade de percolação não-homogênea para
$r=3,4,5,6$ e caso homogêneo para $r=3$ com
$p_c=1/(r-1)$.}\label{fig:thetar}
\end{center}
\end{figure}

%\hspace{5 mm}
A primeira curva à direita na Figura~\ref{fig:thetar} refere-se à
rede de Bethe homogênea com $r=3$, muito próximo da função de
probabilidade teórica, mostrando que o algoritmo funciona
apropriadamente.  As outras curvas referem-se ao modelo de
percolação não-homogênea em (\ref{pe}), indicando que a função de
percolação $\theta^*(p)$ comporta-se como uma função tipo $S$,
isto é, uma função de distribuição acumulada, característica que
não ocorre no modelo homogêneo [$\overline{p}(e)=p$] para $n$
grande, como podemos ver que na Figura~\ref{fig:thetan}. O
comportamento da Figura~\ref{fig:thetar} provoca uma importante
questão: podemos dizer que $p_c^*> 0$? Com o comportamento em $S$,
não é trivial afirmar que $p^*_c>0$, principalment no caso em que
$r\geq 6$. Uma prova formal de que $p^*_c$ é ou não positivo é
necessária, pois é uma das principais características do modelo.

%\begin{figure}
%\begin{center}
%\includegraphics[width=75.18mm,height=36.58mm]{Probabilidade.eps}
%\includegraphics[scale=0.7]{Probabilidade.eps}

%\caption{Probability of percolation for regular and sinusoid
%lattices for $r=3$}\label{fig:theta}
%\end{center}
%\end{figure}

 \section{Obteção da densidade crítica não trivial no modelo de ondas senóide}

%By the fact that the probabilities  $\pe$ are periodically equal
%to 1 at levels $90+180k, k\in \mathbb{N},$ and $\forall p>0$ we
%have that $q_k(p)=P_p(S_r((k-1)T))
%\stackrel{p}{\longleftrightarrow} S_r(kT))>0, \forall k$.

Nesta seção verificaremos que existe um limiar de percolação não
trivial para este sistema, isto é, $p_c^*>0$. Primeiro vamos
encontrar um função similar ao comprimento de correlação que
converge para a função conectividade, e que será determinante para
a obtenção da probabilidade crítica $\theta^*(p)$.

\subsection{A função conectividade e o comprimento de correlação}

\hspace{5 mm}A função conectividade da origem até o vértice $x$
com $l(x)=n$, através do caminho $0,\ x_{1},\ x_{2},\ \cdots,\
x_{n}=x$, e respectivos elos $e_{1},\ e_{2},\ \cdots,$ $e_{n}$,
será dadoa por
\begin{equation}
\displaystyle \tau_{0x}(p)=\prod_{k=1}^{n}\overline{p}(e_{k}).
\end{equation}

Seja $0,\ x_{1},\ x_{2},\ \cdots,\ x_{n}=x$ o caminho de tamanho
$n$ da origem até $x$, e $\tau_{0x}(p)$  a função conectividade.
Assim, existe uma função positiva monotônica $\zeta(p)$ tal que,
para $n$ grande,

\begin{equation}
\tau_{0x}(p)\simeq\exp\left\{-n/\zeta(p)\right\}. \label{zeta1}
\end{equation}

Para provar (\ref{zeta1}), notemos que

$\tau_{0x}(p) = \displaystyle
\prod_{k=1}^{n}\overline{p}(e_{k})=\exp\left\{\sum_{k=1}^{n}\log\overline{p}(e_{k})\right\}=\exp\left\{n
\displaystyle
\times\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\overline{p}(e_{k})\right\}$,

\noindent em que $\log$ é tomado na base neperiana.  Seja
\begin{equation}
\displaystyle
\zeta_{n}(p)=\left[-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\overline{p}(e_{k})\right]^{-1}.
\label{zeta2}
\end{equation}
%
Para encontrar o limite de (\ref{zeta2}), primeiro notemos que
$\overline{p}(e_{k})$ é cíclico com período $T=180$, com $
\sen(k)\geq 0$ para $k\in \{1,\cdots,T\}$ e $\overline{p}(e_{k})=1
$ quando $p=1$. Assim, as somas consecutivas de $T$ elementos são
constantes e, então, $\zeta_{n}(p)$ converge para $\zeta_{T}(p)$
quando $n \rightarrow\infty$, com
%
%\begin{equation}
\[\zeta_{T}^{-1}(0) = -\frac{1}{T}
 \sum_{k=1}^{T}\log{(\sen{(k)})} \geq
 -\frac{1}{T}\log{(\sen{(T)})} = \infty\]
%\end{equation}
%
\noindent e\\
%
%\begin{equation}
%\displaystyle
 \[\zeta_{T}^{-1}(1) = -\frac{1}{T}
 \sum_{k=1}^{T}\log{(1)} = 0.\]
%\end{equation}

Temos então que $\zeta(p)=\zeta_{T}(p)$,  com $\zeta(0)=0$ e
$\zeta(1)=\infty$. Na Figura~\ref{fig:zeta} apresentamos o gráfico
de $\zeta(p)$.

%$\zeta_{T}(0)=0$ e $\zeta_{T}(1)=\infty$. Temos então que
%$\zeta(p)=\zeta_{T}(p)$. Na Figura~2 apresentamos o gráfico de
%$\zeta(p)$.

%  and represent $\zeta_n(p)
%\stackrel{n}{\simeq} \zeta(p)$ in the sense of ${\displaystyle
%\lim_{n\rightarrow\infty} \zeta_n(p) / \zeta(p)=1}$.
% that is, for any $\epsilon>0$ and $p\in (0,1)$ there is a $n^*=n(\epsilon,p)$ such that $|\zeta_n(p)
%- \zeta(p)|<\epsilon, \; \forall n>n^*$.



\begin{figure}[h]
\begin{center}
%\includegraphics[width=75.18mm,height=36.58mm]{Probabilidade.eps}
\includegraphics[scale=0.9]{Gammasen.eps}
\caption{Comportamento de $\zeta(p)$}\label{fig:zeta}
\end{center}
\end{figure}


\subsection{Densidade crítica}

Para a obtenção do ponto crítico desta rede usaremos um
desenvolvimento similar ao de (\ref{Eq:Umean}). Considerando
novamente $S_r^\bullet(n,p)$ uma variável aleatória representando
o número de vértices no nível $n \geq 1$, com
$S_r^\bullet(0,p)\equiv 1$, temos que

\[S_r^\bullet(n,p)\;|\;\{S_r^\bullet(n-1,p)=x\} \sim
Binomial(x(r-1),\pn),\]

\noindent onde $\pn=\overline{p}(e_n)$. A esperança condicional é

\[\mathbb{E}(S_r^\bullet(n,p)\;|\;S_r^\bullet(n-1,p)) =
S_r^\bullet(n-1,p)(r-1)\pn\]

\noindent e a esperança incondicional é obtida recursivamente por
%
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}(S_r^\bullet(n,p))&=&(r-1)\pn\mathbb{E}(S_r^\bullet(n-1,p))\\
&=&(r-1)^2\pn \overline{p}_{n-1}\mathbb{E}(S_r^\bullet(n-2,p))\\
 &\vdots&\\
 &=&(r-1)^n\prod_{k=1}^n \overline{p}_k\\
 &=&(r-1)^n \exp(-n/\zeta_n(p))\\
  &=&\exp\{-n[\zeta_n^{-1}(p)-\log(r-1)]\}\\
%\end{eqnarray*}
%
%\[
&\rightarrow &\begin{cases} 0 & \text{ com } \;
n\uparrow \infty \text{ se } \zeta(p) < \frac{1}{\log(r-1)} \\
%
1 &  \text{
if } \zeta(p) = \frac{1}{\log(r-1)} \\
%
\infty & \text{ com } \; n\uparrow \infty \text{ se } \zeta(p) >
\frac{1}{\log(r-1)}.
\end{cases}%\]
\end{eqnarray*}

Então, concluímos que $p_c^*$ é dado pela solução de
%
\begin{equation}
\zeta(p) = \frac{1}{\log(r-1)}. \label{eq:zetapc}
\end{equation}

O comprimento de correlação é uma função continua de $p$, assim
podemos obter com alta precisão o valor do ponto crítico. A
solução numérica para $r=3$ é $p_c^*=0.00148254$, e  para $r=4$,
temos $p_c^*=0.558815\times 10^{-34}$. É importante notar que
(\ref{eq:zetapc}) é verdade também para o caso regular ($\pe=p$),
onde temos $\zeta(p)=(-\log(p))^{-1}$ e a solução de
(\ref{eq:zetapc}) é dada por $p_c=1/(r-1)$.

\section{Conclusões}

Apresentamos um modelo de percolação de rede de Bethe
não-homogênea considerando a probabilidade de um elo estar aberto
em função da distância $l(e)$ deste até a origem, dada por uma
função senóide $\overline{p}(e)=p+(1-p)|\sen(l(e))|$.  Não existe
na literatura nenhum modelo periódico similar usado em percolação
em outros contextos. Um estudo de simulação preliminar indicou que
a função probabilidade de percolação não é uma função abrupta,
diferente do caso regular (homogêneo), caracterizando uma
transição de fase de segunda ordem e tornando imprecisa a
conclusão sobre se o limiar de percolação é ou não trivial (zero).
Demonstramos que a probabilidade de percolação é estritamente
positiva. Um programa de simulação feito pelos autores mostra o
comportamento da probabilidade de percolação baseados em
$M=10^{6}$ replicas do processo percolação para $p$ variando de
zero até 1 com incremento 0.001, com nível máximo da rede de $n
=10^{5}$.  É importante notar que várias extensões deste modelo
podem ser feitas \citep{van2012percolation, chalupa1979bootstrap}
para casos parecidos ou outras situações mais realista.


\medskip
\begin{abstract}
{\bf Abstract}.  In this work we deal with an inhomogeneous Bethe
lattice percolation model where the probability of a edge in level
$n$ is open changes according as $n$. This model can be
appropriate to the case where the media changes its density in a
systematic way, such as the proliferation of insects that depends
on the temperature and humidity, which fluctuates between day and
night. We consider the case where the density $\overline{p}(.)$
follows a function of the distance $l(.)$ from the origin, given
by a sinusoid function $\overline{p}(.)=$ $p \hspace{0.1cm}
+(1-p)|\sin(l(.))|$. For this model we present results of
Monte-Carlo simulation showing the behavior of the probability of
percolation with a second-order phase transition, but we present
too a formal proof that the density is non trivial, with the
mathematical expression to compute the percolation threshold.
\end{abstract}


\bibliographystyle{newapa} % newapa apa plainnat amsplain abbrvnat unsrtnat (.bst)
\bibliography{BIBpercolation,BIBtri} % chama o(s) arquivo(s) de referências "BIBpercolation.bib", "BINtri",...

\end{document}




\begin{thebibliography}{99}

%\addtolength{\leftmargin}{0.2in} % sets up alignment with the following line.
%\setlength{\itemindent}{-0.2in}

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