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\documentclass{TEMA}

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\newcommand{\diag}{\mathop{\mathrm{diag}}\nolimits}

\begin{document}

%********************************************************
\title
    {Aplicação do Algoritmo de Cuthill-McKee em Matrizes de Hodge para o Método da Esparsificação Recursiva\thanks{Trabalho apresentado no Congresso de Matemática Aplicada e Computacional-Nordeste, em novembro de 2012, Natal-RN.}}

\author
   {Autores%
   \thanks{Graduandos em Matemática pela Universidade Federal }\,.
     Departamento de Ciências Exatas, Brasil 2012
   \\ \\
   \\ \\
  Autor%
 \thanks{Professor da Universidade Federal}\,.
  Departamento Matemática, Brasil, 2012.
     \\ \\
     \\ \\
     Autores%
     \thanks{Professores da Universidade Federal}.
      Departamento de Engenharia Elétrica, Brasil, 2012.
}

%\author
 %   {J.L.P. LUIZ, B.F.C. DA SILVA, G.M.C. MAGALHAES%
  %   \thanks{Graduandos em Matemática pela Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri. Contatos: brunobfcs@ymail.com, gaublis@hotmail.com, lucasvt09@hotmail.com.}\,.
 %     Departamento de Ciências Exatas, DCEX, UFVJM - Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri, 39803.853 - Teófilo Otoni, MG, Brasil.
  %   \\ \\
   %  A.S. DE MOURA%
    % \thanks{Professor da Universidade Federal de Juiz de Fora.Contato: alexsmoura100@gmail.com.}\,.
     %Departamento Matemática, UFJF - Universidade Federal de Juiz de Fora, Av. Dr. Raimundo Monteiro Rezende, 330 - Centro, 
     %35010-177 - Governador Valadares, MG, Brasil.
     %\\ \\
     %R.R. SALDANHA, E.J. DA SILVA%
     %\thanks{Professores da Universidade Federal de Minas Gerais. Contatos: rodney@cpdee.ufmg.br, elson@cpdee.ufmg.br}.
     % Departamento de Engenharia Elétrica, UFMG - Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG, Brasil.
%}
\criartitulo

\runningheads {MOURA et al}{Algoritmo de Cuthill-McKee aplicado em Matrizes de Hodge}

\begin{abstract}
{\bf Resumo}. A solução de sistemas lineares esparsos de alta ordem está inserido em vários ramos da ciência, como por exemplo a engenharia. Por conseguinte, tem havido um grande esforço para resolver ou apresentar soluções aproximadas de tais sistemas de forma eficiente. 
Neste trabalho combina-se o método da esparsificação recursiva com o algoritmo de Cuthill-McKee para obter uma aproximação esparsa para a inversa de uma classe de matrizes esparsas denominadas matrizes de Hodge.

{\bf Palavras-chave}. %Método Numérico, Sistemas lineares esparsos, 
Esparsificação recursiva, Matriz de Hodge, Algoritmo de Cuthill-McKee.
\end{abstract}


%********************************************************
\newsec{Introdução}

\ \ \ \ \ A solução de sistemas esparsos de alta ordem está inserida em vários ramos da ciência, como por exemplo, a engenharia. Por conseguinte, tem havido um grande esforço para resolver ou apresentar soluções aproximadas de tais sistemas de forma eficiente. 
    
    Quando se trata de problemas de propagação de ondas eletromagnéticas utilizando a teoria de formas diferenciais \cite{AB:1994}-\cite{ASM2012a}, tem-se que as equações de Maxwell em sua forma semi-discreta se comportam como um sistema linear esparso de alta ordem. Estes sistemas consistem na resolução de um sistema linear esparso definido pela inserção das relações constitutivas através das matrizes de Hodge em cada passo de tempo \cite{ASM2012b}. 

Em \cite{ASM2012b} é apresentado uma técnica de esparsificação  da inversa da matriz de Hodge pelo particionamento recursivo da matriz em blocos. A ideia fundamental é aproximar as submatrizes por matrizes esparsas durante o processo de inversão por blocos. Experimentos numéricos mostram que o método leva a um menor número de operações no processo de inversão (ou seja, a um menor custo computacional) e é incondicionalmente estável.

Neste paper será mostrado que a utilização do algoritmo de Cuthill-McKee \cite{Geo1981} sobre as matrizes de Hodge pode diminuir de uma maneira considerável o tempo de processamento para esparsificação recursiva.



%********************************************************
\newsec{O método da Esparsificação Recursiva}

\ \ \ \ \ A técnica de Esparsificação Recursiva da inversa da matriz de Hodge consiste no particionamento recursivo desta matriz em blocos. A ideia fundamental é aproximar as submatrizes por matrizes esparsas durante o processo de inversão por blocos. Experimentos numéricos apresentados em \cite{ASM2012b} mostram que o método leva a um menor número de operações no processo de inversão (ou seja, a um menor custo computacional) e é incondicionalmente estável.
%A técnica de Esparsificação Recursiva consiste no particionamento recursivo desta matriz em blocos e na aproximação das submatrizes por matrizes esparsas durante a inversão por blocos.

O método de esparsificação recursiva da inversa da matriz de Hodge é baseada na seguinte fórmula de inversão por bloco:
%
%Equation(1)
\begin{equation} \label{eq:Eq.1}
\mathbf{D}_{i-1}^{-1} =  \left[\begin{array}{cc}
\mathbf{Q}_{i}^{-1} & \mathbf{X}_{i} \\
\mathbf{X}_{i}^{T}  & \mathbf{S}_{i}
\end{array} \right]\label{eq:Eq.5}
\end{equation}
%
onde $\mathbf{D}_0^{-1} = \mathbf{M}^{-1}$ e 
%
%Equation(2)
\begin{eqnarray}\label{eq:Eq.2}
\mathbf{Q}_{i} &=& \mathbf{A}_{i} - \mathbf{B}_{i}\mathbf{D}_{i}^{-1}\mathbf{B}_{i}^T\nonumber\\
\mathbf{X}_{i} &=& -\mathbf{Q}_{i}^{-1}\mathbf{B}_{i}\mathbf{D}_{i}^{-1}\\
\mathbf{S}_{i} &=& \mathbf{D}_{i}^{-1} - \mathbf{D}_{i}^{-1}\mathbf{B}^{T}_{i}\mathbf{X}_{i}\nonumber
\end{eqnarray}

As expressões em \ref{eq:Eq.1} e \ref{eq:Eq.2} surgem a partir do particionamento de uma matriz que é descrito da seguinte maneira:
%Equation(3)
\begin{equation}\label{eq:Eq.3}
\mathbf{D}_{i-1} = \left[\begin{array}{cc}
\mathbf{A_{i}} & \mathbf{B_{i}} \\
\mathbf{B_{i}^{T}} & \mathbf{D_{i}}
\end{array} \right].
\label{eq:Eq.7}
\end{equation}

Note que a inversão da matriz $\mathbf{D}_{0}$ de ordem $n\times n$ se reduz a inversão de uma matriz $\mathbf{D}_{1}$ de ordem $\left(n-q\times n-q\right)$ e uma matriz $\mathbf{Q}_{1}$ de ordem $\left(q\times q\right)$, onde $0<q<n$. A fórmula de inversão pode ser aplicada recursivamente na  matriz $\mathbf{D}_{1}$, levando a uma sequência de tamanho decrescente de matrizes.
%
%Equation(4)
\begin{equation}\label{eq:Eq.4}
\mathbf{M} = \mathbf{D}_0, \mathbf{D}_1,\mathbf{D}_2,\ldots,\mathbf{D}_k 
\end{equation}
%
onde
%
%Equation(5)
\begin{eqnarray}\label{eq:Eq.5}
k &=& \lfloor\log_{q/n}(1/n)\rfloor
\end{eqnarray}
%
e $\mathbf{D}_{i}$ é o bloco de $\mathbf{D}_{i-1}$, para $i=1,2,\ldots,k$, tal que a inversa $\mathbf{M}^{-1}$ é obtida pelas substituições sucessivas através da sequência
%
%Equation(6)
\begin{equation}\label{eq:Eq.6}
\mathbf{D}_k^{-1},\mathbf{D}_{k-1}^{-1},\ldots, \mathbf{D}_1^{-1},D_0^{-1} =\mathbf{M}^{-1} 
\end{equation}
%

As matrizes em \ref{eq:Eq.6} podem ser aproximadas por matrizes esparsas, para se obter uma sequência de matrizes esparsas 
%
%Equation(7)
\begin{equation}\label{eq:Eq.7}
\mathbf{D}_{k_{s}}^{-1},\mathbf{D}_{{(k-1)}_s}^{-1},\ldots, \mathbf{D}_{0_{s}}^{-1}=\mathbf{M}_{s}^{-1}
\end{equation}
%
para aproximar a sequência descrita em \ref{eq:Eq.6}.

Após cada inversão das matrizes em \ref{eq:Eq.6}, a respectiva matriz $\mathbf{D}_k^{-1}$ é esparsificada para uma matriz $\mathbf{D}_{k_s}^{-1}$ de maneira que os coeficiente fora da diagonal da matriz $\mathbf{D}_k^{-1}=\left[d_{ij}\right]$ são zerados quando 
%
%Equation(8)
\begin{equation}\label{eq:Eq.8}
\left|d_{i\neq j}\right| \leq r \min \left| \diag{\mathbf{D}_k^{-1}}\right|
\end{equation}
onde $0<r<1$ é o parâmetro threshold.

Este critério é utilizado devido os maiores valores da matriz de Hodge estarem localizados em sua diagonal, induzindo desta forma naturalmente um valor de corte, que é dado por uma fração do menor coeficiente diagonal.

O interesse do método está em se obter de uma maneira eficiente uma aproximação para a inversa da
matriz de Hodge que seja esparsa e que não perca as características da matriz inversa original, tais como
a positividade definida e a forte localização dos elementos.

Em \cite{ASM2012b} é mostrado que o método
não afeta a estabilidade do sistema, devido ao fato do sinal dos autovalores não ser alterado
e de se manter a forte concentração dos termos de maior grandeza em torno da diagonal principal.



%********************************************************

\newsec{Algoritmo de Cuthill-McKee}

\ \ \ \ \ Dada uma matriz simétrica $\mathbf{M} = (m_{i,j})$, de dimens\~oes $n\times n$, define-se {\it largura de banda} como sendo a maior distância de um elemento não nulo à diagonal principal, que é dada por:
%equação 10
\begin{equation}\label{eq:Eq.9}
\beta = max\vert i-j\vert,\ \   m_{ i,j} \normalsize\neq 0 
\end{equation}
%O objetivo do Algoritmo  de Cuthill-Mckee \'e diminuir a largura de banda da matriz ($\beta$). Para isso ele usa uma pr\'atica muito comum em \'Algebra Linear, a Permuta\c c\~ao de Matrizes.

O algoritmo de Cuthill-Mckee trabalha com o objetivo de diminuir a largura de banda $(\beta)$ dessa matriz $\mathbf{M}$, que é tratada pelo algoritmo como uma matriz de adjacência de um grafo.

A ideia básica do algoritmo \'e encontrar e efetuar uma permuta\c c\~ao em $\mathbf{M}$ de forma que as entradas n\~ao nulas se aproximem da diagonal principal. %A distribui\c c\~ao dessas entradas podem ser representadas atrav\'es de Grafos, de forma que sua posi\c c\~ao $(i,j)$ gere n\'os ligados por uma aresta. %e isso proporciona uma visualiza\c c\~ao de como o Algoritmo de Cuthill-Mckee opera para diminuir o valor de $\beta$. 
 Para encontrar tal permuta\c c\~ao ele percorre todas as entradas da matriz verificando as n\~ao nulas e armazenado os valores $i$ e $j$ de sua posi\c c\~ao numa matriz unidimensional que \'e gerada durante o processo, esses valores representam os n\'os de um grafo gerado pela matriz, que posteriormente ser\'a percorrido partindo sempre dos n\'os que possuem menos liga\c c\~oes, gerando  assim a permuta\c c\~ao que ser\'a aplicada em $\mathbf{M}$. 
 
 Na equação a seguir (\ref{eq:Eq.10}), note que o grafo é gerado a partir da matriz $M$, a qual se deseja diminuir a largura de banda, a partir do grafo a permutação $q=\{4,1,5,2,3\}$ é construída e aplicada na matriz $M$, gerando assim a matriz $M'$, onde já pode ser observado a alocação dos elementos não-nulos da matriz próximos à diagonal. Observe que a permutação $q=\{4,1,5,2,3\}$ é obtida partindo do número $4$ que possui apenas uma ligação e seguindo a ordem crescente de ligações no grafo, atingindo assim todos os nós.

%\begin{figure}
\begin{equation} \label{eq:Eq.10}
\\
\mathbf{M}=\left[
\begin{array}{ccccc} \label{Matriz 1}
1&0&0&4&1\\0&2&9&0&4\\0&1&3&0&7\\3&0&0&4&0\\2&8&6&0&5
\end{array}
\right]
\quad \ \
\rightarrow
\small
\xymatrix{
*++[o][F-]{4}\ar[r]& 
*++[o][F-]{1} \ar[r] & 
*++[o][F-]{5} \ar[ld] \ar[d] \\ &
*++[o][F-]{2} \ar[r]  &
*++[o][F-]{3}
}\quad \ \   
\normalsize
\\
\mathbf{M}'=\left[
\begin{array}{ccccc}
4&3&0&0&0\\4&1&1&0&0\\0&2&5&8&6\\0&0&4&2&9\\0&0&7&1&3
\end{array}
\right]
\end{equation}
%\caption{\small À esquerda a matriz $\mathbf{M}$, à direita a matriz $\mathbf{M'}$ após ser tratada pela permutação $q=\{4,1,5,2,3\}$, dada pelo grafo ao centro. }
%\end{figure}

%\begin{figure}[!h]
%\centering
%\includegraphics[height=4 cm,width=16 cm]{matriz.eps} 
%\caption{\small\small (a) Matriz Simétrica $\mathbf{M}$, (b) Grafo que gera a permutação $q=\{4,1,5,2,3\}$, (c) Matriz  $\mathbf{M'}$, que é obtida a partir de $\mathbf{M}$ e $q$.}
%\label{fig:guia3} 
%\end{figure}

%Ap\'os percorrer todas as entradas o algoritmo guarda a ordem dos n\'os partindo sempre dos que possuem menos liga\c c\~oes e a partir da\'i gera a permuta\c c\~ao que ser\'a aplicada na matriz $M$ gerando assim uma matriz $M'$ com valores n\~ao nulos reunidos pr\'oximo \`a diagonal e efetua uma reordena\c c\~ao da matriz de forma que os n\'os ligados por arestas estejam o mais pr\'oximo possivel um dos outros, diminuindo dessa forma a largura de banda da matriz.\\

%A permuta\c c\~ao gerada pelo Algoritmo \'e aplicada na matriz $M$, 

Dessa forma o Algoritmo de Cuthill-Mckee faz com que os elementos não nulos de uma matriz fiquem concentrados  próximo à diagonal principal, diminuindo a largura de banda da matriz e possibilitando obter ganhos computacionais quando utilizado juntamente com o método da esparsificação recursiva na inversão da matrizes de hodge, como será visto posteriormente.


\newsec{Matrizes de Hodge}

\ \ \ \ \ As Matrizes de Hodge são matrizes geradas a partir da discretização das Equações de Maxwell. A essência destas matrizes  está relacionada ao tipo de discretização, ou seja, serão construidas em função do tipo de malha utilizada. Se durante a discretização é utilizada uma malha estruturada como FDTD\footnote{Finite-Difference Time-Domain.}, obtêm-se as matrizes de Yee Hodge, por outro lado, se forem utilizadas malhas não estruturadas como no FEM\footnote{Finite Element Method.}, têm-se as matrizes do tipo Galerkin Hodge \cite{ASM2012a}. 

\subsection{Aplicação do algoritimo de Cuthill-Mckee com o método da esparsificação recursiva}
\ \ \ \ \ A aplicação do algoritmo de Cuthill-Mckee juntamente com o método da esparsificação recursiva tem como objetivo reduzir o tempo de processamento para a inversa da Matriz de Hodge, porém sem perder as característas da matriz inversa original, conforme já enunciadas acima.

Podemos observar na Figura 1 uma Matriz de Hodge convencional e sua formação após ser tratada pelo Algoritmo de Cuthill-Mckee.
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[height=4 cm,width=8 cm]{figura2a.eps} 
\caption{\small(a) Matriz de Hodge convencional. (b) Matriz de Hodge tratada pelo algorítimo  Cuthill-Mckee.}
\label{fig:guia3} 
\end{figure}

A combinação do m\'etodo da esparsifica\c c\~ao recursiva com o algoritmo de Cuthill-Mckee promove  uma redu\c c\~ao consider\'avel do tempo de processamento para a esparsificação recursiva. 

Este fato decorre da necessidade de menos invers\~ao de blocos, pois o algoritmo de Cuthill-Mckee faz com que os blocos  $\mathbf{B}_{i}$ e $\mathbf{B}_{i}^{T}$ (\ref{eq:Eq.3}) transformem-se em matrizes com pouqu\'issimos elementos n\~ao nulos, assim como pode ser observado na matriz de Hodge (figura 1b) e na matriz gerada pela permutação ilustrada pelo grafo na equação (\ref{eq:Eq.10}). 

Portanto, a inversão recursiva torna-se mais rápida pelo fato da matriz possuir menos elementos a serem invertidos, e os elementos não nulos estarem concentrados próximo à diagonal principal da matriz. Essa proximidade dos elementos não nulos à diagonal, conforme já visto, decorre da redução da largura de banda $(\beta)$ da matriz, promovida pelo algoritmo de Cuthill-Mckee.



\newsec{Resultados}
\ \ \ \ \ O objetivo desta seção é expor os resultados obtidos a partir da utilização da esparsificação recursiva juntamente com o algoritmo de Cuthill-Mckee na inversão das Matrizes de Hodge. Nela, compara-se o tempo de processamento computacional na aplica\c c\~ao da \ diagonaliza\c c\~ao de Cuthill-Mckee com o m\'etodo da Esparsifica\c c\~ao Recursiva e é feita uma simulação de guia de onda retangular 2D. 

\subsection{Tempo de Processamento}

\ \ \ \ \ Para se mostrar a redução do tempo de processamento devido a aplicação da diagonalização de Cuthill-McKee, é fixado o parâmetro threshold em $r=1\times 10^{-5}$ e comparamos o tempo de processamento do método da esparsificação recursiva com e sem a aplicação da diagonalização da matriz, para matrizes de Hodge de ordem $n\times n$, com $n$ variando entre 50.000 a 75.000.
\begin{table}[h]\label{tab1}
\begin{center}
\begin{tabular}{cccc} \hline
Tamanho da matriz &  CM    & ER & Speedup \\
$n$               &  (s)   & (s)&  CM/ER  \\
\hline
50.000 & 17,58  & 28,85  & 0,6094   \\
55.000 & 21,70  & 46,48  & 0,4667   \\
60.000 & 29,27  & 76,99  & 0,3815   \\
65.000 & 42,42  & 422,87 & 0,1003  \\
70.000 & 396,41 & 1002,4 & 0,3955   \\
75.000 & 853,08 & 1513,9 & 0,5635    \\
\hline
\end{tabular}
\caption{ {\small Tempo de Computação: Cuthill-Mckee (CM) X
Esparsificação Recursiva(ER)}}
\end{center}
\end{table}
%\vspace*{1cm}

Tabela (1) mostra os resultados obtidos neste experimento, percebe-se uma redução significativa no tempo de processamento pela aplicação da diagonalização. Destacamos que para uma matriz de ordem $65.000\times 65.000$ obtivemos um redução de $90\%$ no tempo de processamento.

\subsection{Guia de onda retangular 2D}
\ \ \ \ \ Considere o guia de onda retangular , cujas paredes na direção $z$ são condutoras eletricamente perfeitas (PEC - perfect electric conductor) e cujo material interno é o ar.  

O esquema Leap-frog \cite{JK:2002} em termos de $\mathbf{e}$ e $\mathbf{b}$ para este problema será dado por
%%
\begin{eqnarray}\label{eq:leapfrog}
\mathbf{b}^{k+1}&=&\mathbf{b}^k -\delta t \mathbf{G}\mathbf{e}^{k-1/2}\\
\mathbf{e}^{k+1/2}&=&\mathbf{e}^{k-1/2} + \delta t\left[\mathbf{M}^{-1}_{0}\left(\epsilon\right) \mathbf{G}^T\mathbf{M}_{1}\left(\nu\right)\mathbf{b}^k\right] \nonumber
\end{eqnarray}
%%
onde $\mbf{G}$ é a matriz de incidência nó-aresta e $\mbf{M}_0\left(\epsilon \right)$ e $\mbf{M}_1\left(\nu \right)$ são as as matrizes de Galerkin Hodge \cite{ASM2012b}.
%%
\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[height=3 cm,width=9 cm]{GUIA3.eps} 
  \caption[Campo elétrico $\mcl{E}_y$ no meio do guia 2D.]{Campo elétrico $\mcl{E}_y$ no meio do guia $x=a/2$ com 17.400 passos de tempo.}
  \label{fig:guia3} 
\end{figure}
%% 
%

Figura \ref{fig:guia3} apresenta a distribuição do campo elétrico na região central do guia $(x = a/2)$ com 17.400 passos de tempo, em contraste com a solução analítica. Observe que a solução do método com formas diferenciais é concordante com a solução analítica e, o campo é completamente absorvido pela camada PML.

\newsec{Conclusão}
\ \ \ \ \ Neste trabalho pôde ser observado uma redução expressiva no tempo de processamento para o método da Esparsificação Recursiva com o uso do algoritmo de Cuthill-Mckee. Este fato ocorre em decorrência da geração de blocos quase-nulos após a diagonalização da matriz proporcionando desta forma uma redução de operações a serem efetuadas. 

\begin{abstract}
{\bf Abstract}. The solution of sparse linear systems of high order is inserted in various branches of science, such as engineering. Consequently, there has been a great effort to resolve or provide approximate solutions of such systems efficiently.
This work combines the method of recursive sparsification with the Cuthill-McKee algorithm for a sparse approximation to the inverse of a class of sparse matrices called Hodge's  Matrices.

\textbf{Keywords}. Recursive Sparsification,  Hodge's Matrices, Cuthill-McKee algorithm.
\end{abstract}

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{a} As referencias foram retiradas para garantir o anonimato da avaliação. Contudo, constam no arquivo tex.
Como as referencias foram retiradas, as citações durante o texto foram desconfiguradas.
%\bibitem{AB:1994} A. Bossavit, "Computational Electromagnetism: Variational Formulation, Complementarity, Edge Elements", Academic Press, San Diego, 1994.

%\bibitem{Geo1981} A. George, J.W.H Liu, "Computer Solution of Large Sparse Positive Definite Systems", Prentice-Hall, 1981. 

%\bibitem{HE:2006} B. He and F. L. Teixeira, Geometric finite element discretization of Maxwell equations in primal and dual spaces, \textit{Physics Letters A} on vol 349, Elsevier, pp. 1-14, 2006.

%\bibitem{ASM2012b} A. S. Moura, R. R. Saldanha, E. J. Silva, A. C. Lisboa, W. G. Facco, N. Z. Lima, A recursive sparsification of the inverse hodge matrix, \textit{Magnetics, IEEE Transactions} on vol 48, pp 611-614, 2012.

%\bibitem{ASM2012a} A. S. Moura, R. R. Saldanha, E. J. Silva, A. C. Lisboa, W. G. Facco, Discretization of the CFS-PML for computational electromagnetics using discrete differential forms, \textit{Microwave and Optical Technology Letters}on vol 55, Issue 2, pp 351-357, 2013.

%\bibitem{JK:2002} J.Keranen and J.Kangas, A.Ahola, L.Kettunen, Implicit Yee-like scheme on tetrahedral mesh, \textit{Magnetics, IEEE Transactions} on vol 32, Issue 2, pp 717-720, 2002.





\end{thebibliography}


\end{document}
\newpage
$ \  \  $  \thispagestyle{myheadings}  \markboth{      }{   }