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%Comandos Criados
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\begin{document}

%********************************************************
\title
    {Um Método Híbrido de Elementos Finitos e Diferenças Finitas Aplicado a Problemas Parabólicos
\thanks{
Este trabalho foi parcialmente apresentado no CNMAC2012-Águas de Lindóia, SP.}}

\criartitulo


\begin{abstract}
{\bf Resumo}. Este trabalho trata da aplicação de um método de elementos finitos descontínuo hibridizado,  combinado com aproximações de diferenças finitas para a variável temporal,  visando a solução de problemas parabólicos. Tal proposta foi desenhada considerando-se  uma aproximação espacial descontínua entre os elementos, com a continuidade ao longo das interfaces imposta fracamente através do uso de um multiplicador de lagrange. A precisão e eficiência da metodologia, quando comparada a aproximações espaciais usuais, por exemplo, o método de Galerkin contínuo, são comprovadas pelas taxas de convergência exibidas. Além disso, demonstra-se  que é possível eliminar oscilações espúrias associadas a discretizações espaciais  usualmente obtidas com formulações semidiscretas convencionais em problemas de condução de calor.

{\bf Palavras-chave}. Diferenças Finitas, Métodos Híbridos, Equação do Calor, Estabilização.
\end{abstract}


%********************************************************
\newsec{Introdução}

Problemas parabólicos têm sido exaustivamente estudados sob os pontos de vista matemático e computacional. O Método de Galerkin clássico, o qual é usualmente definido de maneira que a aproximação seja contínua entre os elementos da discretização, é muito utilizado para resolver o problema de condução de calor. Contudo, a aplicação desse método, quando combinado com aproximações por diferenças finitas na variável temporal, comumente denotado por formulação semidiscreta usual, pode  resultar no aparecimento de oscila\c c\~oes esp\'urias \cite{HARARI}. Neste trabalho é então proposto um método híbrido de elementos finitos, na aproximação espacial,  combinado com esquemas de diferenças finitas na integração temporal, visando resolver numericamente problemas parabólicos bi-dimensionais. Métodos híbridos de elementos finitos e de Galerkin Descontínuo (GD) \cite{RIVIERE} estão relacionados pelo uso de aproximações que utilizam funções localmente definidas no nível de elemento (espaço de funções quebradas). Diferentemente dos métodos GD, os métodos híbridos são resolvidos em nível de elemento e as variáveis locais são eliminadas em favor do multiplicador de lagrange, definido nas interfaces dos elementos. Consequentemente, o sistema global resultante é montado a partir  dos graus de liberdade associados ao multiplicador de lagrange, reduzindo assim o custo computacional e, principalmente, a complexidade computacional, tornando-se semelhante a dos métodos de elementos finitos contínuos.

Neste trabalho vamos analisar a combinação de um método hibridizado de elementos finitos com esquemas explícitos, semi-implícitos e totalmente implícitos de diferenças finitas, aplicados na integração temporal.  Essas opções serão comparadas entre si e com o método de Galerkin usual em relação ao custo computacional e precisão (taxas de convergência). Finalmente, será mostrado que a formulação híbrida totalmente implícita é apropriada para tratar as oscilações espúrias encontradas quando se emprega a metodologia semidiscreta usual. 

Uma análise de erro completa, exibindo as propriedades de estabilidade, consistência, existência e unicidade de solução para o método híbrido aqui introduzido, assim como um estudo justificando os resultados obtidos em relação a sua robustez (eliminação das oscilações espúrias) serão apresentadas em um trabalho futuro.

\newsec{A Formulação Variacional Híbrida}
 
 Para introduzir a metodologia numérica proposta escolhe-se um problema parabólico clássico, que modela a condução de calor/temperatura ($u$) em um domínio $\Omega \subset \R^2$, para um tempo $T>0$, descrito pelas seguintes equações:
 
 {\bf Problema Global (PG):} Encontrar $u : \Omega \times [0,T]  \rightarrow \R$ tal que:
\sis{
\pf{u}{t}{}-\Delta u&=& 0 \qquad \text{em } \Omega\times [0,T]\\
u(x,y,t) &=& 0 \qquad \textrm{sobre } \partial \Omega \times [0,T]\\
u(x,y,0) &=& u_0(x,y) \qquad \textrm{em } \Omega,
\label{global}
}
com $f$ e $u_0(x,y)$  fun\c c\~oes conhecidas, suficientemente regulares. Portanto, inicia-se com a noção de {\it espa\c cos quebrados}, os quais s\~ao  usualmente utilizados nas definições de métodos de Galerkin Descontínuos  \cite{RIVIERE} . Esses espaços dependem fortemente da partição/discretização do domínio, como será visto a seguir. Considera-se então  $\{\mathcal{T}_h\}_h$ uma família regular de elementos $K$, que formam uma partição do domínio  $\Omega\subset \R^2$,  onde $K$ é um triângulo ou um quadrilátero. Sendo $\partial K$ o conjunto das arestas do elemento $K$, denota-se por $\mathcal{E}_h$ o conjunto de todas as arestas/lados  (inclusive nas fronteiras) de todos os elementos $K$ da partição/malha $\mathcal{T}_h $,  onde $h$ é o diâmetro máximo do elemento. Além disso, seja $\mathcal{E}^{0}_h$ o conjunto das arestas internas da parti\c c\~ao  e $\mathcal{E}^{\partial} = \mathcal{E}_h \cap \partial\Omega$ o conjunto de todas as arestas de $\mathcal{E}_h$ sobre a fronteira de $\Omega$. Se $e$ é uma aresta compartilhada por dois elementos vizinhos $K_1$ e $K_2$ ent\~ao, para uma fun\c c\~ao escalar $\varphi$ e  uma fun\c c\~ao vetorial $\bf v$, suave por partes em $\mathcal{T}_h$, definem-se m\'edias e saltos, respectivamente, por $
\media{\varphi}=\frac{1}{2}\bpar{\varphi^1+\varphi^2}$, $\salto{\varphi}=\varphi^1 \bn^1+\varphi^2\bn^2 \quad \textrm{em } e\in \E_h^0$ e $\media{{\bf v}}=\frac{1}{2}\bpar{{\bf v}^1+{\bf v}^2}$, $\salto{{\bf v}}={\bf v}^1 \bn^1+{\bf v}^2\bn^2 \quad \textrm{em } e\in \E_h^0$, com  ${\bf n^1}$ e ${\bf n^2}$ os respectivos vetores normais unit\'arios apontados para o exterior dos elementos. Portanto,  define-se um {\it problema local}, em nível de cada elemento $K\in \mathcal{T}_h$, do seguinte modo:\\
\noindent
{\bf Problema Local (PL):} Para cada $t\in (0,T]$, encontrar $u : K \times [0,T] \rightarrow  \R$, $u(t)\in V=H^2(\mathcal{T}_h)=\{ v\in L^2(\Omega), \; v|_{K}\in H^2(K)\}$ tal que:
\beqn
\bsis
\pf{u}{t}-\Delta u = 0 &\qquad& \textrm{em } K \\
\salto{\nabla u}_e=0 &\qquad& \forall e\in \E_h^0 \\
\salto{u}_e=0 &\qquad&\forall e\in \E_h \\
u(x,y,0)=u_0(x,y) &\qquad& \textrm{em } K.
\esis \label{ee}
\eeqn
O problema (\ref{ee}) caracteriza o m\'etodo proposto como sendo descont\'inuo entre os elementos $K$ da partição $\mathcal{T}_h$. É imediato verificar que os problemas (\ref{global}) e (\ref{ee}) são equivalentes \cite{RIVIERE}.

A seguir apresenta-se uma fomulação variacional híbrida para (\ref{ee}). Multiplicando (\ref{ee}$)_1$ por uma fun\c c\~ao $v \in V$ e integrando por partes no dom\'inio $K$,  obtém-se a  forma fraca local:
\begin{eqnarray}
\bpar{\frac{\partial u}{\partial t}, v}_K +(\nabla u, \nabla v)_K -  \int_{\partial K} \nabla u \cdot \mathbf{n} v ds = (f,v)_K, \quad \forall v \in V. \label{ee1}
\end{eqnarray}
O \'ultimo termo do lado esquerdo da equa\c c\~ao (\ref{ee1}) surge naturalmente da integra\c c\~ao por partes e assegura a consist\^encia do m\'etodo. Seguindo as id\'eias de Nitsche \cite{NITSCHE} e Babuska \cite{BABUSKA} acrescenta-se \`a equa\c c\~ao (\ref{ee1}) um termo de simetriza\c c\~ao e um termo de estabiliza\c c\~ao, que garantem, respectivamente, as propriedades de consist\^encia adjunta e estabilidade. Deste modo, a identidade  (\ref{ee1}) \'e reescrita como:
\begin{eqnarray}
\bpar{\frac{\partial u}{\partial t}, v}_K + (\nabla u, \nabla v)_K - \int_{\partial K} \nabla u \cdot \mathbf{n} v ds \nonumber\\
- \int_{\partial K} (u-\lambda)\nabla v \cdot \mathbf{n} ds + \int_{\partial K} \beta (u-\lambda) v ds = (f,v)_K, \label{aa}
\end{eqnarray} 
sendo $\beta$ um parâmetro de estabiliza\c c\~ao, a ser definido posteriormente, e $\lambda$  o multiplicador de lagrange, associado ao traço  de $u$ nas arestas $e$, com $\lambda \in M = \{\mu \in L^2(e), \forall e \in  \E_h^0 \}$. Portanto, $\lambda$ é aqui tratado como uma variável independente e calculado em nível de cada aresta. Como o  problema (\ref{aa}) cont\'em as inc\'ognitas $u$ e $\lambda$ para torn\'a-lo poss\'ivel de resolu\c c\~ao acrescenta-se, ainda, a seguinte equação, associada ao multiplicador $\lambda$, resultante da imposição, de forma fraca, das condições de interface $\salto{ u}_e=0$ e $\salto{\nabla u}_e=0$:
\begin{eqnarray}
\sum_K \left[ \int_{\partial K} \nabla u \cdot \mathbf{n} \mu ds 
+  \int_{\partial K} \beta (\lambda - u) \mu ds \right]&=& 0. \label{la}
\end{eqnarray} 
 Portanto, tem-se, associado ao problema local ({\bf PL}), a seguinte\\ 
\noindent
{\bf Formulação Variacional Híbrida (FVH1):} Para cada $t\in (0,T]$, encontrar $u(t) \in V$ e $\lambda\in M$ satisfazendo as equações (\ref{aa}) e (\ref{la}), para todo $v \in V$ e $\mu \in M$, com $\beta=\beta_0/{h}$ onde $\beta_0$ \'e uma constante positiva e $h$ é o tamanho característico da malha. 

Observa-se que {\bf FHV1} encontra-se no contexto das formulações hibridizadas pois a variável $u$  é calculada em nível do elemento $K$ (local), enquanto que o valor do multiplicador $\lambda$ é obtido globalmente. É ainda conveniente escrever  o problema fazendo uso da terminologia dos métodos de Galerkin Descontínuos (GD). Para isso leva-se em conta as identidades apresentadas em Arnold et all \cite{ARNOLD}, o fato que $u$ é a solução de (\ref{ee}) e a equação (\ref{la}), resultando em uma nova expressão para a formulação variacional híbrida de {\bf PL}, ou seja:\\
\noindent
{\bf Formulação Variacional Híbrida (FVH2):} Para cada $t\in (0,T]$, encontrar $u(t) \in V$ e $\lambda\in M$ tal que:
\begin{eqnarray}
&\sum_K&\big\{\bpar{\frac{\partial u}{\partial t}, v}_K+ (\nabla u, \nabla v)_K - \int_{\partial K} \nabla u \cdot \mathbf{n} v ds\big\}\nonumber
\\&-& \sum_K\big\{-\int_{\partial K} \nabla v \cdot \mathbf{n} (u-\lambda) ds +
 \int_{\partial K} \beta (u-\lambda) v ds\big\} =\sum_K (f,v)_K, \label{eqc2}
\end{eqnarray}
para todo $v\in V$, onde $\lambda=\media{u}-\frac{1}{2\beta}\salto{\nabla u}$.

\newsec{Aproximações por  Diferenças Finitas no Tempo}

Nesta seção, empregando-se métodos de Euler explícitos e implícitos  (diferenças finitas) na aproximação do termo temporal, são propostas formulações semi-discretas  para  {\bf FVH1} e {\bf FVH2}. Portanto, define-se uma partição do intervalo $[0,T]$ dada por $I=\{t_0=0, t_1, \cdots, t_N=T\}$, com  $\Delta t=t_{n+1}-t_n$ o tamanho do intervalo de tempo e denota-se  $u(t^n)=u^n$. \\
\noindent
{\bf Formula\c c\~ao Hibridizada Evolutiva (FHE):}
Para cada $K \in \mathcal{T}_h$ e $n=0,\dots,N-1$, encontrar $(u^{n+1}, \lambda^{{n+1}}) \in V \times M$, tal que:
\beqn
\bsis
\bpar{\frac{u^{n+1}-u^{n}}{\Delta t},v}_K+a\bpar{u^{n+1},q} = f(v)- b\bpar{\lambda^{n},v}, \quad \forall v\in V\\
\lambda_{aux}^{n+1}=\media{u^{n+1}}-\frac{1}{2\beta}\salto{\nabla u^{n+1}}, \label{fhe}
\esis
\eeqn
com as formas bilineares $a(u,v)$, $b(\lambda, v)$ e a forma linear $f(v)$ dadas por:
\begin{eqnarray}
a(u,v) &=& (\nabla u, \nabla v)_K - \int_{\partial K} \nabla u \cdot \mathbf{n} v dS 
-  \int_{\partial K} \nabla v \cdot \mathbf{n} v dS +  \int_{\partial K} \beta u v dS, \\
b(\lambda, v) &=& \int_{\partial K} \nabla v \cdot \mathbf{n} \lambda - 
 \int_{\partial K} \beta \lambda v d, \\
 f(v) &=& (f,v)_K.
\end{eqnarray}
No c\'alculo do multiplicador de lagrange $\lambda$ utiliza-se o m\'etodo SOR ({\it Successive Over Relaxation}), ou seja, considera-se
\begin{equation}
\lambda^{n+1} = (1 - \omega)\lambda^{n} + \omega\lambda_{aux}^{n+1} ,\label{lamb02}
\end{equation}
sendo $\omega$ o par\^ametro de relaxa\c c\~ao, que acelera o processo de obtenção da solu\c c\~ao aproximada.

A partir dos resultados computacionais apresentados em \cite{FERNANDES}  pode-se inferir que a formula\c c\~ao {\bf FHE} \'e est\'avel, por\'em imprecisa. Portanto, visando melhorar a precis\~ao da evolu\c c\~ao temporal  e a aproximação do multiplicador $\lambda$, foram propostos dois algoritmos iterativos, conforme descritos a seguir.

De forma sucinta, o primeiro algoritmo consiste em calcular, a cada passo de tempo $n+1$,  $n=1,\ldots,N$, itera\c c\~oes $k=1,2,\ldots$, tomando o termo de estabiliza\c c\~ao na iteração $k$, ou seja: \\
\noindent
{\bf Formula\c c\~ao Hibridizada Penalti Semi-impl\'icito (FHPSI):} Para cada $K \in \mathcal{T}_h$ e $n=0,\dots,N-1$, encontrar $(u^{n+1}, \lambda^{{n+1}}) \in V \times M$, tal que:
\beqn
\bsis
\bpar{\frac{u^{n+1,k+1}-u^n}{\Delta t},v}_K+ a\bpar{u^{n+1,k+1},v} =  f(v)- b\bpar{\lambda^{n+1,k},v}, \\
\lambda^{n+1,k+1}_{aux}=\media{u^{n+1,k+1}}-\frac{1}{2\beta}\salto{\nabla u^{n+1,k+1}}, 
\esis \label{fpsi}
\eeqn
para todo $v\in V$, com $
\lambda^{n+1,k+1} = (1 - \omega)\lambda^{n+1,k} + \omega\lambda_{aux}^{n+1,k+1}$. Considerando $tol>0$ um valor para a tolerância, a converg\^encia do multiplicador \'e ent\~ao verificada através do algoritmo:
\begin{eqnarray}
\sum_{e\in \E_h^0}{\frac{\sqrt{(\lambda^{n+1,k+1}_{e,aux} - \lambda_e^{n+1,k})^2}}{\sqrt{(\lambda^{n+1,k+1}_{e,aux})^2}}}\leq tol  \, \Rightarrow \, \begin{array}{rcl}u^{n+1}&=&u^{n+1,k+1}\\
\lambda^{n+1}&=&\lambda^{n+1,k+1}.
\end{array}
\end{eqnarray}

No segundo algoritmo tem-se a temperatura $u$ e o multiplicador de lagrange $\lambda$ calculados de forma expl\'icita no termo de estabiliza\c c\~ao. Desse modo, lê-se: \\
\noindent
{\bf Formula\c c\~ao Hibridizada Penalti Expl\'icito (FHPE):} Para cada $K \in \mathcal{T}_h$ e $n=0,\dots,N-1$, encontrar $(u^{n+1}, \lambda^{{n+1}}) \in V \times M$, tal que: 
\beqn
\bsis
\bpar{\frac{u^{n+1,k+1}-u^n}{\Delta t},v}_K+ \tilde{a}\bpar{u^{n+1,k+1},v} =  f(v)- 
b\bpar{\lambda^{n+1,k},v}- \int_{\partial K} \beta u^n v dS, \\
\lambda^{n+1,k+1}_{aux}=\media{u^{n+1,k+1}}-\frac{1}{2\beta}\salto{\nabla u^{n+1,k+1}},
\esis \label{fhpe}
\eeqn
para todo $v\in V$ e a forma bilinear $\tilde{a}(u,v)$ definida por:
\begin{eqnarray}
\tilde{a}(u,v) &=& \sum_K \left[  (\nabla u, \nabla v)_K - \int_{\partial K} \nabla u \cdot \mathbf{n} v dS 
-  \int_{\partial K} \nabla v \cdot \mathbf{n} u dS  \right] .
\end{eqnarray}

Nos experimentos numéricos exibidos em \cite{FERNANDES} concluiu-se que ao serem adicionadas as iterações em cada passo de tempo ({\bf FHPSI} e {\bf FHPSE}) recupera-se a precisão da evolução temporal, não apresentada pela {\bf FHE}. Além disso, constata-se que {\bf FHPSI} \'e incondicionalmente est\'avel e apresenta um custo computacional menor quando comparado com {\bf FHPE}. Finalmente, independente da condi\c c\~ao inicial ($u_0$) adotada ambas formulações convergem para a solu\c c\~ao estacion\'aria do problema de calor (\ref{global}) e exibem taxas ótimas de convergência (converg\^encia em $h$). No entanto, buscando ainda melhorar a  precis\~ao da evolu\c c\~ao temporal e do custo computacional, é agora proposta uma formula\c c\~ao totalmente impl\'icita, isto é, uma aproxima\c c\~ao em que as vari\'aveis $u$ e $\lambda$ s\~ao calculadas na mesma itera\c c\~ao, sem a necessidade da utilização de um processo iterativo. Desse modo, define-se a \\
\noindent
{\bf Formula\c c\~ao Hibridizada Totalmente Impl\'icita (FHTI):} Para cada $K \in \mathcal{T}_h$ e $n=0,\dots,N-1$, encontrar $(u^{n+1}, \lambda^{{n+1}}) \in V\times M$, tal que:
\beqn
\bsis
(u^{n+1},v)_K+ {\Delta t}\left[a\bpar{u^{n+1},v} +  b\bpar{\lambda^{n+1},v}\right] = {\Delta t} f(v) + (u^n,v)_K , \quad \forall q\in V \\
\sum_K \left[ \int_{\partial K} \nabla u^{n+1} \cdot \mathbf{n} \mu ds 
+  \int_{\partial K} \beta (\lambda^{n+1} - u^{n+1}) \mu ds \right]= 0, \quad \forall \lambda \in M.
\esis \label{fhti}
\eeqn
Como será demonstrado nos experimentos numéricos da próxima seção, a {\bf FHTI} apresenta melhor  desempenho, sob os pontos de vista numérico e computacional, em relação as demais aproximações  {\bf FHPSI} e {\bf FHPE}, quando aplicada no cálculo da solução aproximada do problema de calor (\ref{global}).


\section{Formulação Híbrida Completamente Discreta}

Para a obtenção de uma aproximação totalmente discreta emprega-se o método de elemetos finitos na discretização espacial das formulações introduzidas na seção anterior. Desse modo, são definidos os  espaços de dimensão finita, conhecidos como {\it espaços quebrados}, dados por: $V_h = \{v_h \in L^2(\Omega); \hspace{0.2cm}v_h|_K \in P_l(K), \quad \forall K \in \mathcal{T}_h\}$ e $M_h=\{\mu_h \in L^2(e): \hspace{0.2cm} \mu_h|_e \in P_m(e), \quad \forall e \in \mathcal{E}_h\}$, onde $P_l(K)$ e $P_m(K)$ são conjuntos de polinômios de grau $l$, se $K$ é um triângulo ou um quadrilátero, e de grau menor ou igual a $m$ sobre cada aresta/lado $e$, respectivamente. Para não tornar o texto repetitivo, apresenta-se, a seguir, apenas a forma totalmente discretizada da {\bf FHTI}. As aproximações espaciais das outras formulações são obtidas de forma análoga.\\

\noindent
{\bf Formulação Hibridizada Completamente Discreta (FHCD):}
Para cada $K \in \mathcal{T}_h$ e $n=0,\dots,N-1$, encontrar  $(u_{h}^{{n+1}}, \lambda_{h}^{{n+1}}) \in V_h \times M_h$  tal que:
\beqn
\bsis
(u_h^{n+1},v_h)_K+ {\Delta t}\left[a\bpar{u_h^{n+1},v_h} +  b\bpar{\lambda_h^{n+1},v_h}\right] = {\Delta t} f(v_h) + (u_h^n,v_h)_K ,\\
\sum_K \left[ \int_{\partial K} \nabla u_h^{n+1} \cdot \mathbf{n} \mu_h ds 
+  \int_{\partial K} \beta (\lambda_h^{n+1} - u_h^{n+1}) \mu_h ds \right]= 0,
\esis \label{fhti_total}
\eeqn
para todo $v_h\in V_h$ e $\mu_h\in M_h$. Pode-se deduzir que o método  em 
(\ref{fhti_total})  possui  conserva\c c\~ao de massa local e liberdade na escolha dos espaços de aproximações ($V_h$ e $M_h$), tanto para o tipo do polinômio interpolante (polinômios de lagrange, legendre e outros) 
como para a ordem (grau) de interpolação dos mesmos. Essa é uma vantagem, por exemplo, 
sobre os métodos mistos clássicos \cite{EGGER,FARHLOUL,ROBERTS}, onde é exigido um 
comprometimento entre as escolhas dos espaços de aproximação para que sejam 
asseguradas unicidade e existência de solução. 

Computacionalmente, a melhor opção para resolver o sistema (\ref{fhti_total}) é calcular primeiro a equação $(\ref{fhti_total})_1$, em nível de elemento, utilizando a técnica de condensação estática, para obter $u$ em termos de $\lambda$. Em seguida, substituíndo-se $u$ na equação $(\ref{fhti_total})_2$, se resolve o sistema global (somando as contribuições dos elementos) para $\lambda$. Essa metodologia, típica de elementos finitos hibridizados, será então empregada nos experimentos numéricos da próxima seção. Além disso, observar-se-á para valores grandes de $\beta_0$, fixado $h$, que a partir da expressão $(\ref{fhti_total})_2$ a formulação hibridizada (descontínua) aproxima-se do método de Galerkin (contínuo). Finalmente, desde que não são mais empregadas iterações, em cada passo temporal, a ${\bf FHCD}$ (ou, ${\bf FHTI}$) apresenta um custo computacional reduzido (Tabela 1).

\newsec{Resultados Computacionais}

Nas simulações numéricas para o problema (\ref{global}), foram empregadas malhas uniformes compostas por quadriláteros, com $4\times4=16$, $8\times8=64$ e $16\times16=256$ elementos. Utilizou-se interpola\c c\~ao bilinear  para a temperatura  $u$ e dois pontos de integra\c c\~ao nas arestas para o multiplicador $\lambda$, correspondendo a uma aproximação linear. 

\subsection{Compara\c c\~ao do Custo Computacional}

Na Tabela \ref{tab1} apresenta-se o tempo computacional das metodologias aqui introduzidas,  considerando-se as tr\^es malhas acima mencionadas. Os dados adotados nas simula\c c\~oes dos tr\^es m\'etodos s\~ao  $\beta_0 = 12$, $tol = 10^{-10}$, $u_0(x,y) = \frac{\sin(\pi x ) \sin(\pi y)}{\pi^2}$, $\Delta t = 10^{-6}$ e $t=150$ para o par\^ametro de estabiliza\c c\~ao, a toler\^ancia, a condi\c c\~ao inicial, o passo de tempo e o  instante de tempo final da simulação, respectivamente. A converg\^encia \'e alcançada em, no m\'aximo, 06 iterações. Entre cada passo de tempo tem-se uma média de 4 iterações tanto para a ${\bf FHPSI}$ quanto para a ${\bf FHPE}$. De acordo com os resultados da Tabela \ref{tab1} conclui-se que a ${\bf FHTI}$ (ou ${\bf FHCD}$) \'e a mais r\'apida j\'a que n\~ao h\'a necessidade de itera\c c\~oes nessa formula\c c\~ao.
%
\begin{table}[!h]
\caption{Tempo computacional em segundos}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& \multicolumn{3}{c|}{N\'umero de elementos} \\
\hline
M\'etodo &$4\times4$ &$8\times8$ &$16\times16$ \\
\hline
\hline
${\bf FHPSI}$ &0,278 &1,423 &5,711  \\
\hline
${\bf FHPE}$ &0,282 &1,407 &5,074  \\
\hline
${\bf FHTI}$ &0,199 &0,796 &3,027 \\
\hline
\end{tabular} \label{tab1}
\label{ta1}
\end{center}
\end{table}
\subsection{Comparação com o Método de Galerkin }

Estes experimentos numéricos ilustram a precisão e eficiência da ${\bf FHCD}$ na resolução do problema de calor (\ref{global}) quando comparada a uma  metodologia semidiscreta usual, denominada aqui apenas de método de Galerkin,  onde o método de Galerkin é aplicado na aproximação espacial e então combinado com uma  aproximação de Euler implícito na variável temporal.  Na Figura \ref{id1} tem-se então o comportamento da evolu\c c\~ao para diferentes valores de $\beta_0$, com uma malha uniforme $4 \times 4$ e com $u_0(x,y)=1$. É imediato observar a influência do valor do termo de estabiliza\c c\~ao nos resultados apresentados. Nota-se que para valores de $\beta_0 \gg 3$ tem-se a presença de oscila\c c\~oes esp\'urias, as quais deixam de existir quando escolhe-se $\beta_0 = 3$. Conclui-se, portanto, que a escolha ideal para esse parâmetro é $\beta_0 = 3$. Além disso, como comentado {\it a priori}, à medida que $\beta_0$ cresce as aproximações obtidas com a formulação híbrida (descontínua) aproximam-se daquelas calculadas com o método de Galerkin (Cont\'inuo), ou seja, as oscila\c c\~oes crescem com o aumento da constante $\beta_0$, do termo de estabiliza\c c\~ao. Esses comportamentos podem ser melhor visualizados na figura da direita, onde é apresentada a ampliação das simulações para os instantes iniciais. Observa-se instabilidade para a escolha $\beta=1$.

\begin{figure}[!htbp]
\center
\subfigure[]
%{\includegraphics[width=0.49\linewidth]{evolucao.eps}}
{\includegraphics[width=0.49\linewidth, height=5cm]{evolucao.eps}}
\subfigure[]
%{\includegraphics[width=0.49\linewidth]{zoom.eps}}
{\includegraphics[width=0.49\linewidth, height=5cm]{zoom.eps}}
\caption{Concentração de calor em relação ao tempo. Em (a) comparações entre o método de Galerkin (Continuo) e  ${\bf FHCD}$, com diferentes valores de $\beta_0$, no ponto central $(0.5, 0.5)$; em (b), ampliação dos resultados da figura (a) para os instantes iniciais.}
\label{id1}
\end{figure}

Finalmente, pode-se concluir que as soluções obtidas pela formulação proposta não são poluidas pelo erro na aproximação espacial, como acontece quando é empregado o método de Galerkin combinado com algum método da família trapezoidal na aproximação temporal. É bem conhecido que formula\c c\~oes de elementos finitos com base no m\'etodo de Galerkin usual (definido em espaços contínuos) podem apresentar oscila\c c\~oes esp\'urias espaciais, nos instantes iniciais de tempo, quando aplicados na aproximação de problemas parabólicos (veja \cite{HARARI} e os trabalhos citados). Dando ainda continuidade a essa  análise é exibida na Figura \ref{ze} uma comparação entre o método de Galerkin  e a ${\bf FHCD}$ considerando-se  $t=2,6,50$ e $100$,  uma malha uniforme de $8\times 8=64$ elementos, um passo de tempo $\Delta t= 10^{-4}$ e fixado $\beta_0=3$. Note que, diferentemente do método de Galerkin (figuras da esquerda) a formulação hibridizada é capaz de eliminar as oscila\c c\~oes esp\'urias que surgem quando $t=2$ e $t=6$ (tempos iniciais).

\begin{figure}[!htbp]
\center
%\includegraphics[width=0.43\linewidth]{cont0.eps}
%\vspace{-0.5cm}
%\includegraphics[width=0.43\linewidth]{h8_0.eps}
%\vspace{-0.5cm}
\includegraphics[width=0.43\linewidth]{cont2.eps}
\vspace{-0.5cm}
\includegraphics[width=0.43\linewidth]{h8_2.eps}
\vspace{-0.5cm}
\includegraphics[width=0.43\linewidth]{cont6.eps}
\vspace{-0.5cm}
\includegraphics[width=0.43\linewidth]{h8_6.eps}
\vspace{-0.5cm}
\includegraphics[width=0.43\linewidth]{cont50.eps}
\vspace{-0.5cm}
\includegraphics[width=0.43\linewidth]{h8_50.eps}
\vspace{-0.5cm}
\includegraphics[width=0.43\linewidth]{cont100.eps}
\vspace{-0.5cm}
\includegraphics[width=0.43\linewidth]{h8_100.eps}
%\vspace{-0.5cm}
%\includegraphics[width=0.43\linewidth]{cont300.eps}
%\vspace{-0.5cm}
%\includegraphics[width=0.43\linewidth]{h8_300.eps}
\vspace{0.7cm}
\caption{Concentração de calor em relação ao tempo. Comparações entre a metodologia semidiscreta  (esquerda)  e $FHCD$ (direita) para $t=2,6,50$ e $100$, de cima para baixo.}\label{ze}
\end{figure} 

\subsection{Análise de Convergência}

Na análise estudo de converg\^encia $h$ adotou-se o passo de tempo $\Delta t=10^{-6}$ para as formula\c c\~oes propostas. Foi verificado que todas produzem as mesmas taxas \'otimas de converg\^encia. Logo, por simplifica\c c\~ao, escolheu-se exibir apenas os resultados para ${\bf FHTI}$ com $\beta_0 = 12$ e  $u_0(x,y)=1$. 

Na Figura \ref{fa1} apresentam-se as taxas de convergência, na norma $L^2(\Omega)$, para a temperatura  ($u_h$), o gradiente ($\nabla u_h$) e o multiplicador ($\lambda_h$), em $t=1$. Em $(a)$ exibem-se os erros de aproximação e em $(b)$ os resultados para as interpolantes. Nota-se que a solu\c c\~ao aproximada e  seu gradiente apresentam taxas de convergência iguais as das suas interpolantes ({\it taxas ótimas}). Contudo, para o multiplicador de lagrange \'e poss\'ivel inferir que $\lambda_h$ tem um erro menor quando comparado com a interpolante, $\lambda_I$.


\begin{figure}[!ht]
\center
\subfigure[a][solu\c c\~ao aproximada]{\includegraphics[width=0.43\linewidth]{erro-time.eps}}
\subfigure[b][solu\c c\~ao interpolante]{\includegraphics[width=0.43\linewidth]{errointer.eps}}
\caption{Estimativas de erro na norma $L ^2(\Omega)$. Compara\c c\~oes com a solu\c c\~ao aproximada (esquerda) e a solu\c c\~ao interpolante (direita).}
\label{fa1}
\end{figure}


\section{Conclusão}

Neste trabalho foram analisadas combinações de um método hibridizado de elementos finitos com esquemas explícitos (${\bf FHPE}$), semi-implícitos (${\bf FHPSI}$) e totalmente implícitos (${\bf FHTI}$) de diferenças finitas, empregados na integração temporal, visando a solução numérica de problemas parabólicos, em especial da equação do calor bi-dimensional. Atrav\'es dos experimentos computacionais verificou-se que a ${\bf FHPSI}$ e a ${\bf FHTI}$ s\~ao incondicionalmente est\'aveis com rela\c c\~ao a $\Delta t$. J\'a a ${\bf FHPE}$ \'e condicionalmente est\'avel necessitando de uma escolha cuidadosa do passo de tempo. Al\'em disso, observou-se que a ${\bf FHTI}$ apresenta um custo computacional reduzido se comparado com as demais aproxima\c c\~oes. Foi constatado que ao se aumentar o par\^ametro de estabilização $\beta_0$ aproxima-se a ${\bf FHTI}$ de uma formula\c c\~ao de Galerkin cont\'inuo, contudo essa abordagem n\~ao \'e interessante devido ao aparecimento de oscila\c c\~oes esp\'urias. Ao reduzirmos os valores de $\beta_0$ encontrou-se um $\beta_0$ \'otimo, $\beta_0=3$, livre das oscilações. 

Em trabalhos futuros pretende-se apresentar uma an\'alise numérica que justifique essa eliminação das oscilações espúrias, presentes no método de Galerkin contínuo, quando empregada a ${\bf FHTI}$. Além disso, planeja-se também estender a aplicação deste estudo na solução de problemas transientes de difusão e reação.

\begin{abstract}
{\bf Abstract}. To solve parabolic problems a hybrid finite element method (HFEM) is introduced to numerically solve the bi-dimensional heat problem combined with finite difference time integration schemes. Such a formulation has been designed considering discontinuous spatial discretizations with continuity along the interface imposed via a Lagrange multiplier. The accuracy and efficiency of the proposed hybrid method are compared against the standard Galerkin method. Furthermore, the HFEM is applied to treat the spurious spatial oscillation problems commonly present in the continuous Galerkin semi-discrete approaches when applied to parabolic problems. For an appropriate choice of the stabilization parameter, numerical simulations will show that the HFEM is well suited to remediate these pathologies.

{\bf Key words}. Finite Differences, Hybrid Methods, Heat Equation, Stabilization.
\end{abstract}

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{ARNOLD}
D.N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn and L.D. Marini, Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems, {\em SIAM J. Numer. Anal.}, {\bf 39}  
(2002) 1749-1779.

\bibitem{BABUSKA}
I. Babuska, The finite element method with penalty, {\em Math. Comp. }, {\bf 27}
(1973) 221-228.

\bibitem{EGGER}
H. Egger, J. Schoberl, A hybrid mixed discontinuous Galerkin finite-element method for convection-diffusion problems, {\em IMA Journal of Numerical Analysis}, {\bf 30} (2010) 1206--1234

\bibitem{FARHLOUL}
M. Farhloul and M. Fortin, Review and complements on mixed-hybrid finite element methods for fluid flows, {\em J. Comput. Appl. Math.}, {\bf 140} (2002) 301-313

\bibitem{FERNANDES}
K.P. Fernandes, S.M.C. Malta e A.F.D. Loula, Formulações de elementos finitos hibridizadas para a equação do calor. In:  Anais do XXXIV CNMAC, Águas de Lindóia, setembro, SP, Vol. IV, (2012). 

\bibitem{HARARI}
I. Harari, Stability of semidiscrete formulations for parabolic problems at small time steps, {\em Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.}, {\bf 193} (2004) 1491-1516.

\bibitem{NITSCHE}
J. Nitsche, Uber ein variationsprinzip zur losung von dirichlet-problemen bei verwendung von teilraumen, die keinen randbedingungen unterworfen sind, {\em Math. Sem. Univ. Hamburg}, {\bf 36}
(1971) 9-15.

\bibitem{RIVIERE}
B. Riviére, $\crav\crav$Discontinuous Galerkin Methods for Solving Eliptic and Parabolic Equations:Theory and Implementation$\acute{} \ \acute{} $, Frontiers in Applied Mathematics, SIAM Publication, New York, 2008.

\bibitem{ROBERTS}
J.E. Roberts and J.M. Thomas, Mixed and hybrid methods, em '' Finite Elements Methods (Part 1), volume II'' (P.G. Ciarlet and J.L. Lions, eds.), pp 523-639, Amsterdam, 1989.

\bibitem{THOMEE}
V. Thomée, Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems, Second Edition, "Springer Series in Computational Mathematics", Spring Verlag, The Netherlands, 2006. 

\end{thebibliography}

\end{document}

\subsection{Compara\c c\~ao do Custo Computacional}

Na Tabela \ref{tab1} apresenta-se o tempo computacional m\'edio dos experimentos para cada malha. Os par\^ametros adotados para os tr\^es m\'etodos foram $\beta_0 = 12$, $tol = 10^{-5}$, $u_0(x,y) = \frac{\sin(\pi x ) \sin(\pi y)}{\pi^2}$ e $\Delta t = 10^{-6}$, para o par\^ametro de estabiliza\c c\~ao, a toler\^ancia, a condi\c c\~ao inicial e o passo de tempo para todas as malhas, respectivamente. Escolhe-se esse passo de tempo para que seja poss\'ivel realizar as comparações entre as formulações propostas pois  para a ${\bf FHPE}$ o valor de  $\Delta t$ tem rela\c c\~ao direta com o espa\c camento da malha $h$. Todas as simula\c c\~oes foram obtidas na mesma máquina, totalizando $10$ repeti\c c\~oes para $50$ passos de tempo. As formulações ${\bf FHPSI}$ e ${\bf FHPE}$ são não lineares, portanto entre cada passo de tempo tem-se uma m\'edia de 250 e 240 iterações, respectivamente. Pelos resultados mostrados na Tabela \ref{tab1}, como esperado, conclui-se que a ${\bf FHTI}$ \'e a mais r\'apida j\'a que n\~ao h\'a necessidade de itera\c c\~oes nessa formula\c c\~ao.
%
\begin{table}[!htbp]
\caption{Tempo computacional em segundos}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& \multicolumn{3}{c|}{Quantidade de elementos} \\
\hline
M\'etodo &$4\times4$ &$8\times8$ &$16\times16$ \\
\hline
\hline
${\bf FHPSI}$ &0,278 &1,423 &5,711  \\
\hline
${\bf FHPE}$ &0,282 &1,407 &5,074  \\
\hline
${\bf FHTI}$ &0,199 &0,796 &3,027 \\
\hline
\end{tabular} \label{tab1}
\label{ta1}
\end{center}
\end{table}


\subsection{Fluxo contínuo da série TEMA e Seleta do CNMAC}

   Os autores que manifestarem interesse em submeter {\bf trabalhos completos}
à publicação na série TEMA em qualquer época do ano, deverão
prepará-los em \linebreak {\bf LaTeX2e}. A versão {\bf .tex} e a
versão {\bf .pdf} de cada trabalho a ser considerado para
publicação, juntamente com os arquivos de figuras (se houver),
deverão ser submetidas de forma eletrônica no endereço {\bf
http://www.sbmac.org.br/tema/seer }.

%deverão ser encaminhados em CD(s) (com uma cópia impressa em
%papel A4) ao endereço: \\ %[1.3ex]
%\hspace*{1.3cm}TEMA/Fluxo Contínuo \\%
%\hspace*{1.3cm}SBMAC \\ %
%\hspace*{1.3cm}a/c Prof. Dr. Edson Wendland \\
%\hspace*{1.3cm}Caixa Postal 668 \\
%\hspace*{1.3cm}13560-970   São Carlos, SP.\\[1.3ex]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

    Os autores que, ao submeterem resumos ao CNMAC,
manifestarem interesse em submeter seus {\bf trabalhos completos}
à publicação na Seleta do CNMAC, deverão prepará-los em {\bf
LaTeX2e}. A versão {\bf .tex} e a versão {\bf .pdf} de cada
trabalho a ser considerado para publicação, juntamente com os
arquivos de figuras (se houver), também deverão ser submetidas de
forma eletrônica no endereço {\bf
http://www.sbmac.org.br/tema/seer }.

%deverão ser encaminhados em CD(s) (com uma cópia impressa em
%papel A4) a endereço: \\[1.3ex]
%%
%\hspace*{1.3cm}TEMA/Seleta do CNMAC \\%
%\hspace*{1.3cm}SBMAC \\ %
%\hspace*{1.3cm}a/c Prof. Dr. Edson Wendland \\
%\hspace*{1.3cm}Caixa Postal 668 \\
%\hspace*{1.3cm}13560-970   São Carlos, SP.\\[1.3ex]

O prazo final para o encaminhamento dos trabalhos pode ser
encontrado na página: {\bf http://www.sbmac.org.br/tema }.

Os trabalhos submetidos serão avaliados por consultores {\em ad
hoc} e, os selecionados, serão publicados como número especial da
TEMA.

Devido a grande demanda para publicação, o número máximo de
páginas para trabalhos está fixado em {\bf 12}.\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%Para ambos os casos, a carta de encaminhamento deve conter nome,
%endereço completo e, se possível, endereço eletr\^{o}nico e
%telefone do {\bf autor responsável} pela remessa.

Para ambos os casos, os autores, no lugar de {\bf \B
documentclass\{article\}}, deverão usar o comando {\bf \B
documentclass\{TEMA\}},  o ``class file'' {\em TEMA.cls} deve
estar no mesmo diret\'{o}rio no momento da compilação e pode ser
obtido (``downloaded''), via internet, no mesmo endereço
eletrônico  {\bf http://www.sbmac.org.br/tema }.

O ``class file'' {\em TEMA.cls} foi criado para que todos os
trabalhos enviados para publicação em TEMA sejam padronizados.
Assim, todos os trabalhos terão tamanho de fonte {\bf 10pt} e área
de impressão: {\bf 19.0cm} por {\bf 12.7cm}.

Por motivo de padronização, a linha seguinte a {{\bf \B
documentclass \linebreak \{TEMA\}} deve ser {\bf \B
usepackage[brazil]\{babel\}} para os trabalhos escritos em
português e {\bf \B usepackage[english]\{babel\}} para os
trabalhos escritos em inglês.

Endereço para correpondência: \\%
\hspace*{1.3cm}TEMA  -- Tend. Mat. Apl. Comput.  \\%
\hspace*{1.3cm}SBMAC \\ %
\hspace*{1.3cm}a/c Prof. Dr. Edson Wendland \\
\hspace*{1.3cm}Caixa Postal 668 \\
\hspace*{1.3cm}13560-970   São Carlos, SP.\\
\hspace*{1.3cm}e-mail: sbmac@sbmac.org.br.

%********************************************************
\newsec{Página Inicial do Trabalho}
%\setcounter{equation}{0}

    A primeira página do trabalho deve conter o título do
    trabalho, nomes e endereços dos autores e resumo para
    trabalhos escritos em português (abstract para os
    escritos em inglês). Gostaríamos que nos trabalhos escritos em
    português (inglês) seja incluído, ao final do texto, antes das
    referências, um {\bf abstract} em inglês ({\bf resumo} em português).
    Como exemplo, ilustramos como construir a primeira página
    deste documento.

Ap\'{o}s o comando {\bf \B begin\{document\}} inserir as seguintes
instruções
\\[1.5ex]
%%%
{\bf
\noindent \B title \\
\hspace*{0.5cm}\{Instruções para Preparação de Trabalhos \B \B \ para  \\
\hspace*{0.5cm}\, TEMA\B thanks\{Agradecimentos por auxílio.\}  \} \\[1.0ex]
%
\noindent \B author \\
\hspace*{0.5cm}\{A. SRI RANGA\% \\
\hspace*{1cm}\B thanks\{ranga@ibilce.unesp.br; convidado em
1999 para \\
\hspace*{1cm}\, atuar como editor chefe
da série TEMA. \}\B ,, \\
\hspace*{0.5cm}\, Departamento de Ciências de
Computação e \\ %
\hspace*{0.5cm}\, Estatística, IBILCE, UNESP, \\
\hspace*{0.5cm}\, 15054-000 São José do Rio
Preto, SP, Brasil. \} \\[1.0ex]
%
\noindent \B criartitulo \\[1.0ex]
%%%
\noindent \B runningheads \\
\{Sri Ranga\} \{Instruções para Preparação de  Trabalhos\} \\[1.5ex]
%
\noindent \B begin\{abstract\}  \\
\hspace*{1cm}\{\B bf Resumo\}. Este documento, preparado usando-se a  \\
\hspace*{1cm}classe especial \{\B em TEMA\}, fornece algumas  \\
\hspace*{1cm}informações importantes para os autores que pretendem \\
\hspace*{1cm}submeter trabalhos (artigos) completos para a série TEMA. \\

\noindent \hspace*{1cm}\{\B bf Palavras-chave\}. Palavra-chave 1,
palavra-chave 2.\\
\noindent \B end\{abstract\}
} \\

Nos trabalhos em inglês, substituir {\bf \{\B bf Resumo\}} por
{\bf \{\B bf Abstract\}} e substituir {\bf \{\B bf
Palavras-chave\}} por {\bf \{\B bf  Keywords\}}.

Os parâmetros de {\bf \B runningheads\{\ \}\{\ \}} são as
informações impressas nos cabeçalhos (``headings'') das páginas
pares e ímpares, respectivamente.  O primeiro parâmetro refere-se
aos sobrenomes dos autores e o segundo, ao título abreviado do
trabalho (máximo de 70\% da largura do texto). Quando há vários
autores, isto é, quando os sobrenomes dos autores ocupam mais que
50\% da largura do texto, o primeiro parâmetro deve ser o
sobrenome do primeiro autor seguido de et al. .

Quando há mais de um autor, seguir o seguinte exemplo:  \\

{\bf
\noindent \B author \\
\hspace*{0.5cm}\{E.X.L DE ANDRADE\% \\
\hspace*{1cm}\B thanks\{eliana@ibilce.unesp.br. \}\B ,, \\
\hspace*{0.5cm}\, C.F. BRACCIALI\% \\
\hspace*{1cm}\B thanks\{cleonice@ibilce.unesp.br; editora executiva. \}\B ,, \\
\hspace*{0.5cm}\, Departamento de Ciências de
 Computação e Estatística, \\
\hspace*{0.5cm}\, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, \\
\hspace*{0.5cm}\, UNESP - Univ Estadual Paulista, \\
\hspace*{0.5cm}\, 15054-000 São José do Rio Preto, SP, Brasil  \\
\hspace*{2.5cm} \B \B \quad  \B \B  \\
\hspace*{0.5cm}\, S. BRANDÃO\% \\
\hspace*{1cm}\B thanks\{colaboradora na produção deste documento. \}\B ,, \\
\hspace*{0.5cm}\, LNCC, Av. Getúlio Vargas 333, Quitandinha,   \\
\hspace*{0.5cm}\, 25651-070 Petrópolis, RJ, Brasil. \}
} \\

Neste caso, a instrução {\bf \B runningheads} poderá ficar como: \\

\noindent {\bf \B runningheads\{Andrade et al.\}
 \{Instruções para os Autores\}}

ou

\noindent {\bf \B runningheads\{Andrade, Bracciali e Brandão\}
 \{Instruções para os Autores\}}

%********************************************************

\newsec{Sobre Equações}

Embora se deva usar o comando {\bf \B documentclass\{TEMA\}}, as
equações e referências bibliográficas são geradas da mesma forma
que quando usamos o comando  {\bf \B
documentclass\{ar\-ti\-cle\}}.

Os autores deverão usar o comando {\bf \B newsec\{Nome da
Seção\}}, ao invés de {\bf \B section\{Nome da Seção\}} para
produzir equações numeradas de acordo com a seção.
Alternativamente, pode-se usar o comando {\bf \B section\{Nome da
Seção\}} seguido de {\bf \B setcounter\{equation\}\{0\}} para
iniciar novas seções.
O seguinte \linebreak exemplo mostra o resultado final do uso desses comandos: \\


\noindent {\small
\begin{tabular*}{\textwidth}{lcccr}
\vline & \ \ \ \  &
\begin{minipage}{10cm}
\setcounter{section}{0}

\newsec{Primeira Seção}
\label{cin} Considere
\begin{equation} \label{cin.um}
   \begin{array}{rcl}
     S_{n+1}(z) & = & z S_{n}(z) +
                  a_{n+1} S_{n}^{*}(z), \\ [1ex]
     \left(1-|a_{n+1}|^2\right) z S_{n}(z) & = &
             S_{n+1}(z) - a_{n+1} S_{n+1}^{*}(z),
   \end{array} \end{equation}
para $n \geq 1$, onde $S_n^{*}(z) = z^n \overline{S}_n(1/z)$.

\hspace*{.4cm} As equações (\ref{cin.um}) acima são as primeiras
equações numeradas desta seção. Abaixo, um exemplo de  equação
centralizada mas não numerada.
\[ x^x = e^{x \ln(x)}, \qquad x > 0. \]

\newsec{Segunda Seção}
\label{qua}

A equação (\ref{qua.um}) é a primeira equação numerada da Seção
\ref{qua}, veja
\begin{equation} \label{qua.um}
e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.
\end{equation}

\end{minipage}
& \ \ \ \  & \vline
\end{tabular*}}

\noindent {\small
\begin{tabular*}{\textwidth}{lcccr}
\vline & \ \ \ \  &
\begin{minipage}{10cm}

\subsection{Primeira subseção da segunda seção}
Observe que as equações continuam sendo numeradas de acordo com a
seção.
\begin{eqnarray} \label{qua.dois}
A_{j} & = & \sum_{k=0}^j a_k + \sum_{k=j+1}^{\infty} b_k c_k , \\
B_{j} & = & \sum_{k=0}^j b_k + \sum_{k=j+1}^{\infty} a_k c_k , \nonumber\\
T_{j} & = & \prod_{k=0}^j a_k + \prod_{k=j+1}^{2j} b_k c_k.
\end{eqnarray}

\newsec{Terceira Seção}

Na Seção \ref{qua.um} vimos....

%\setcounter{section}{3}
\end{minipage}
& \ \ \ \  & \vline
\end{tabular*}}\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newsec{Sobre Figuras e Tabelas}

As figuras e ilustrações {\bf não} podem ser coloridas e, de
preferência, devem ser preparadas em formato ``encapsulated
postscript'' ({\bf .eps}) ou ``postscript'' ({\bf .ps}).


\begin{figure}[h]
\centering                                          %
\epsfig{file=fig1.eps,height=5cm,width=5cm} %
\caption{Exemplo de figura utilizando o comando {\it \B epsfig}.} %
\label{fig1}
\end{figure}

% As figuras \ref{fig1}  e  \ref{fig2} são exemplos de figuras. A Figura \ref{fig3}
%é exemplo de uso do pacote  {\it subfigure}.


Os seguintes comandos geram a Figura \ref{fig1}. \\[1.3ex]
%
{\bf
\hspace*{0.5cm}\B begin\{figure\}[h] \\
\hspace*{0.5cm}\B centering \\
\hspace*{0.5cm}\B epsfig\{file=fig1.eps,height=5cm,width=5cm\} \\
\hspace*{0.5cm}\B caption\{Exemplo de figura utilizando o comando \B epsfig. \} \\
\hspace*{0.5cm}\B label\{fig1\} \\
\hspace*{0.5cm}\B end\{figure\} }

\begin{figure}[h] %
\centering
\scalebox{0.45}{\includegraphics{fig2.eps}} %
\caption{Exemplo de figura utilizando o comando {\it \B includegraphics}.} %
\label{fig2}
\end{figure}


Os seguintes comandos geram a Figura \ref{fig2}. \\[1.3ex]
%
{\bf
\hspace*{0.5cm}\B begin\{figure\}[h] \\
\hspace*{0.5cm}\B centering \\
\hspace*{0.5cm}\B scalebox\{0.45\}\{\B includegraphics\{fig2.eps\}\} \\
\hspace*{0.5cm}\B caption\{Exemplo de figura utilizando o comando \B includegraphics.\} \\
\hspace*{0.5cm}\B label\{fig2\} \\
\hspace*{0.5cm}\B end\{figure\} }



\begin{figure}[h]
\centering %
\subfigure[Figura a]{\scalebox{1}{\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{fig1.eps}} } %
\hspace{1cm}  %
\subfigure[Figura b]{\scalebox{1}{\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{fig2.eps}} } %
\caption{Exemplo do uso do pacote {\it subfigure}.} %
\label{fig3}
\end{figure}


Os seguintes comandos geram a Figura \ref{fig3}. \\[1.3ex]
%
{\bf
\hspace*{0.5cm}\B begin\{figure\}[h] \\
\hspace*{0.5cm}\B centering \\
\hspace*{0.5cm}\B subfigure[Figura a]\{\B scalebox\{1\}\{\B includegraphics[height=4cm, \\
\hspace*{0.5cm}width=4cm]\{fig1.eps\}\}\} \\
\hspace*{0.5cm}\B hspace{1cm}  \\
\hspace*{0.5cm}\B subfigure[Figura b]\{\B scalebox\{1\}\{\B includegraphics[height=4cm, \\
\hspace*{0.5cm}width=4cm]\{fig2.eps\}\}\} \\
\hspace*{0.5cm}\B caption\{Exemplo do uso do pacote  subfigure.\} \\
\hspace*{0.5cm}\B label\{fig3\} \\
\hspace*{0.5cm}\B end\{figure\} } \\

Os arquivos ``fig1.eps'' e ``fig2.eps'' que contém as figuras
devem estar no mesmo diretório que o arquivo ``.tex''.


A Tabela \ref{tabela01}  é um exemplo de tabela.

\begin{table} [h]
\caption{Exemplo de tabela.} \label{tabela01}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline  & A & B & C & D \\
\hline
\hline 0 & \multicolumn{1}{r|}{1.00}   & \multicolumn{1}{l|}{2.00}   & \multicolumn{2}{c|}{7.0} \\
\hline 1 & \multicolumn{1}{r|}{1.000}  & \multicolumn{1}{l|}{2.000}  & 3.000  & 4.000  \\
\hline 2 & \multicolumn{1}{r|}{1.0000} & \multicolumn{1}{l|}{2.0000} & 3.00   & 4.0000   \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newsec{Algumas Padronizações}

- Numerar apenas as equações a serem referenciadas. \\[1.5ex]
%
- Para centralizar equações utilizar os comandos: \\
\hspace*{1cm} {\bf \B begin\{equation*\}}  equação {\bf \B end\{equation*\}} \\
ou, simplesmente,
\ {\bf \B [}  equação {\bf \B ]} \\
Estes comandos centralizam e não numeram as equações. \\[1.5ex]
%
\noindent - Para fazer refer\^encia a uma equação, utilizar a
combinação de comandos \linebreak
{\bf \B label\{\} } e {\bf \B ref\{\}} da seguinte forma: \\[1ex]
%
\noindent {\bf \hspace*{1cm} \B begin\{equation\}
\B label \{equaX\}} \\
\hspace*{1.5cm} digite aqui a equação  \\
{\bf \hspace*{1cm}   \B end\{equation\}  } \\[1.0ex]
%
\noindent  A equação  ({\bf \B ref\{equaX\}}) é usada
para mostrar que ... \\[1.5ex]
%
\noindent - Evitar o uso excessivo de subseções. \\[1.5ex]
%
\noindent - Definições, lemas, proposições, teoremas, etc. devem
ser numerados de acordo com a seção onde estão inseridos.  Há
comandos pré-definidos para sua numeração automática, são eles:
{\bf defTEMAi}, {\bf lemmaTEMA},  {\bf thmTEMA} e {\bf coroTEMAi},
para artigos em inglês, e  {\bf defTEMAp}, {\bf lemaTEMA}, {\bf
teoTEMA} e {\bf coroTEMAp}, para artigos em português.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Para início e fim de demonstração utilize os comandos {\bf \B
begin\{proof\} } e {\bf \B end\{proof\} } respectivamente.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Por exemplo, o procedimento \\[1.0ex]
%
\noindent \hspace*{1cm} {\bf \B begin\{teoTEMA\}[Desigualdade
triangular] }  \\
\hspace*{1.5cm} \B label \{teoDT\}} \\
\hspace*{1.5cm} Se \$a\$, \$b\$ são números
reais quaisquer, então \\
\hspace*{1.5cm}    \B[ $|$a+b$|$ \B leq $|$a$|$ + $|$b$|$ \B]. \\
\noindent \hspace*{1cm} {\bf \B end\{teoTEMA\}} \\
{\bf \B begin\{proof\} } Coloque aqui a demonstração. {\bf \B
end\{proof\} } \\[1.0ex]
%
\noindent produzirá em Português:
%
\begin{teoTEMA}[Desigualdade triangular] \label{teoDT}
    Se \ $a$, $b$ são n\'umeros reais quaisquer, então
    \[ |a+b| \leq |a| + |b|. \]
\end{teoTEMA}
\begin{proof}
Coloque aqui a demonstração.
\end{proof}
\noindent  Em Inglês a palavra {\it Demonstração.} será
substituída automaticamente por {\it Proof.} \\


Temos como corolário deste teorema
%
\begin{coroTEMAp}
    Se $ a_1, a_2, \ldots, a_n$ são $n$ números reais, então
    \[ |a_1+a_2+\cdots+a_n| \leq |a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|. \]
\end{coroTEMAp}

\noindent Este corolário, do Teorema \ref{teoDT}, pode ser
produzido da seguinte forma
\\[1ex]
%
\noindent \hspace*{1cm} {\bf \B begin\{coroTEMAp\} } \\
\hspace*{1.5cm}  Se \  \$ a\_1, a\_2, \B ldots, a\_n\$ \ s\B
\til\{a\}o \ \$n\$ \
números reais, então \\
\hspace*{1.5cm}   \B[ $|$a\_1+a\_2+\B cdots+a\_n$|$ \ \B leq
$|$a\_1$|$+$|$a\_2$|$+\B cdots+$|$a\_n$|$. \B] \\
\noindent \hspace*{1cm} {\bf \B end\{coroTEMAp\}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newsec{Sobre Refer\^encias Bibliogr\'aficas}

 As referências bibliográficas devem estar em {\em ordem alfabética}
do sobrenome do primeiro autor.

   Como exemplo, vemos que a referência bibliográfica \cite{CHI} refere-se a livro,
as referências  \cite{COU, DT, SL}  a artigos em revista e a
referência  \cite{LIN} é um exemplo de tese de doutorado.
Finalmente, as referências  \cite{GAU, JO-NJ-TH, OL-CA} referem-se
a artigos em ``proceedings'' de congressos.

  Observe que nas referências de livros, teses de doutorado e
dissertações de mestrado o título deve ser colocado entre aspas
com as letras iniciais em maiúsculo. Nas referências a artigos, o
título deve ter apenas a letra inicial da primeira palavra em
maiúsculo e o título da revista em {\em itálico}.

Para fazer citação a uma referência bibliográfica utilizar a
combinação de comandos
{\bf \B cite\{\} } e {\bf \B bibitem\{\}}, como mostra o seguinte exemplo: \\
\begin{center}
\begin{minipage}{10.6cm}

A referência bibliográfica {\bf \B cite\{CHI\}} refere-se a livro. \\

{\bf \B begin\{thebibliography\}\{99\} }

{\bf \B bibitem\{CHI\}} T.S. Chihara, $\crav\crav$An Introduction
to Orthogonal Polynomials $\acute{} \ \acute{} $, Mathematics and
its Applications Series, Gordon and Breach, New York, 1978.

{\bf \B bibitem\{COU\}} R. Courant, Variational methods for the
solution of problems of equilibrium and vibrations, \{\B em Bull.
Amer. Math. Soc.\}, \{\B bf 49\} (1943), 1--23.

{\bf \B bibitem\{DT\}} J.L. Dorício, M.F. Tomé, Um método numérico
para simular escoamentos incompressíveis de fluidos de segunda
ordem, \{\B em TEMA - Tend. Mat. Apl. Comput.\}, \{\B bf 7\}, No.
1 (2006), 63--74. %{\textendash} {\textendash}

{\bf \B bibitem\{GAU\}} W. Gautschi, A survey of Gauss-Christoffel
quadrature formulae, em  $\crav\crav$E.B. Christoffel - The
influence of his work in mathematics and physical sciences
$\acute{} \ \acute{} $ \ (P.L. Butzer e F. Fehér, eds.), pp.
72-147, Birkh\B \"\,\{a\}user Verlag, Basel, 1981.

{\bf \B end\{thebibliography\}}
\end{minipage}
\end{center}

Quando o trabalho for escrito em Inglês a última referência acima
deverá ser feita da seguinte forma:

\begin{center}
\begin{minipage}{10.6cm}
{\bf \B bibitem\{GAU\}} W. Gautschi, A survey of Gauss-Christoffel
quadrature formulae, in $\crav\crav$E.B. Christoffel - The
influence of his work in mathematics and physical sciences
$\acute{} \ \acute{} $ \ (P.L. Butzer and F. Fehér, eds.), pp.
72-147, Birkh\B \"\,\{a\}user Verlag, Basel, 1981.
\end{minipage}
\end{center}

\vspace*{.3cm}

\noindent {\bf {\large Agradecimentos}}\  ({\em este item é facultativo})\\
Aqui os autores poderão expressar seus agradecimentos aos
assessores (quando há \linebreak sugestões de melhoramento) e
entidades ou pessoas que ajudaram de alguma forma a realização do
trabalho. Agradecimentos a agências de fomento à pesquisa poderão
ser feitas na página inicial usando notas de rodapé (\B thanks\{
\}) ligadas ao título do trabalho ou autores.

\begin{abstract}
{\bf Abstract}. This document, which was prepared using the class
file {\em TEMA.cls}, provides some important information for the
authors who intend to submit papers for TEMA.
\end{abstract}


\begin{thebibliography}{8}

%\bibitem{CLBG} C.S.Q. Caldas, J. Limaco, R.K. Barreto, P. Gamboa, About the
%Benjamin-Bona-Mahony equation in domains with moving boundary,
%{\em TEMA - Tend. Mat. Apl. Comput.}, {\bf 8}, No. 3 (2007), 329--339.

\bibitem{CHI} T.S. Chihara, ``An Introduction to Orthogonal Polynomials'',
Mathematics and its Applications Series, Gordon and Breach, New York, 1978.

\bibitem{COU} R. Courant, Variational methods for the solution of problems
of equilibrium and vibrations, {\em Bull. Amer. Math. Soc.}, {\bf
49} (1943), 1--23.

\bibitem{DT} J.L. Dorício, M.F. Tomé, Um método numérico para simular
escoamentos incompressíveis de fluidos de segunda ordem, {\em TEMA
-- Tend. Mat. Apl. Comput.}, {\bf 7}, No. 1 (2006), 63--74.

\bibitem{GAU} W. Gautschi, A survey of Gauss-Christoffel quadrature formulae,
em ``E.B. Christoffel - The influence of his work in mathematics
and physical sciences'' (P.L. Butzer e F. Fehér, eds.), pp.
72-147, Birkh\"{a}user Verlag, Basel, 1981.

\bibitem{JO-NJ-TH} W.B. Jones, O. Nj\aa stad, W.J. Thron,
Schur fractions, Perron Carathéodory fractions and Szeg\H{o}
Polynomials, a survey, em ``Analytic Theory of Continued Fractions
II'' (W.J Thron, ed.), Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1199,
pp. 127-158, Springer Verlag, Berlin, 1986.

\bibitem{LIN} O.L. Linhares, ``Sobre a Racionalização de dois Algoritmos
Numéricos'', Tese de Doutorado, EESC, USP, São Carlos, SP, 1968.

\bibitem{OL-CA} J. de Oliveira, A. Castelo Filho, Freeflow-2D - Um sistema de
simulação de escoamentos de fluidos com superfícies livres
bidimensionais, em ``Seleta do XXII CNMAC'' (J.M. Balthazar, S.M.
Gomes e A. Sri Ranga, eds.), TEMA -- Tend. Mat. Apl. Comput., Vol.
1, pp. 179--192, SBMAC, 2000.

\bibitem{SL} L.J. Slater, Further identities of the Rogers-Ramanujan type,
{\em Proc. London Math. Soc.} {\bf 54}, No. 2 (1952), 147--167.
\end{thebibliography}


\end{document}
\newpage
$ \  \  $  \thispagestyle{myheadings}  \markboth{      }{   }