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\documentclass{CNMAC-TEMA}

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\hyphenation{in-te-res-se es-pa-lha-men-to mo-de-lo
co-nhe-ci-men-to pro-ble-ma as-so-cia-das coe-fi-cien-tes de-vi-do
usa-da }

\begin{document}

\title
    {\bf Problema {\textit {Creep}}-Térmico na Din\^{a}mica de Gases Rarefeitos Baseado no Modelo BGK
     \thanks{Os autores agradecem ao FIPE/UFSM pelo auxílio financeiro.}}

\author
    {R.F. Knackfuss%
     \thanks{knackfuss@smail.ufsm.br.}\,,
     I.B. Aseka%
     \thanks{iaseka@smail.ufsm.br.}\,,
     Departamento de Matemática, CCNE,
     UFSM, 97105-900 Santa Maria, RS, Brasil.}

\criartitulo

\runningheads {Knackfuss e Aseka}{Problema {\it Creep}-Térmico na
Dinâmica de Gases Rarefeitos}

\begin{abstract}
{\bf Resumo}. Neste trabalho, apresenta-se resultados
num\'{e}ricos para perfil de velocidade, perfil de fluxo de calor,
taxa de fluxo de part\'{\i}culas e taxa de fluxo de calor,
relativas ao movimento de um g\'{a}s rarefeito atrav\'{e}s de um
canal plano sujeito a um gradiente de temperatura. Considera-se,
aqui, o canal definido por duas placas paralelas com diferentes
constitui\c{c}\~{o}es qu\'{\i}micas, isto \'{e}, com coeficientes
de acomoda\c{c}\~{a}o diferentes. Para solucionar este problema,
denominado de {\it Creep}-Térmico, inicialmente a equa\c{c}\~{a}o
de Boltzmann \'{e} aproximada pelas equa\c{c}\~{o}es cin\'{e}ticas
que, neste caso, \'{e} baseada no modelo BGK. O processo de
intera\c{c}\~{a}o entre o g\'{a}s e a superf\'{\i}cie \'{e}
descrito pelo modelo de Maxwell e pela condição generalizada de
Cercignani-Lampis. A solu\c{c}\~{a}o do problema \'{e} encontrada
atrav\'{e}s de uma vers\~{a}o anal\'{\i}tica do m\'{e}todo de
ordenadas discretas (ADO).


{\bf Palavras-chave}. Dinâmica de Gases Rarefeitos, Método de
Ordenadas Discretas, Modelo de Maxwell, Modelo de
Cercignani-Lampis.
\end{abstract}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newsec{Introdução}

Os problemas que envolvem dinâmica de gases rarefeitos podem ser
modelados pela equação de Boltzmann que, inicialmente, \'{e}
aproximada pelas equa\c{c}\~{o}es cin\'{e}ticas. Nestes problemas,
as interações dos gases com a superfície têm função importante,
visto que, a temperatura da superfície bem como sua rugosidade e
sua constituição química influenciam diretamente nestas interações
(gás-superfície) conduzindo a diferentes coeficientes de
acomodação \cite{Cercignani1988}. Nos modelos matemáticos, as
condições de contorno levam em consideração o tipo de superfície
através dos núcleos de espalhamento. Dentre os diferentes tipos de
núcleo de espalhamento que expressam as diferentes interações
entre o gás e a superfície, destacam-se o núcleo de espalhamento
de Maxwell \cite{Williams2001}, que considera a fração
$(1-\alpha)$  de partículas refletidas especularmente e o restante
$\alpha$ refletida difusivamente e o núcleo de espalhamento de
Cercignani-Lampis \cite{Cercignani1971}, que diferentemente do
núcleo de Maxwell, para uma melhor representação das propriedades
físicas da superfície, apresenta dois coeficientes de acomodação:
o coeficiente de acomodação do momento tangencial $(\alpha_t)$ e o
coeficiente de acomodação da energia cinética devido a componente
normal da velocidade $(\alpha_n)$. % \cite{knackfuss2006r}.

Em recentes trabalhos, o núcleo de Cerciganni-Lampis associado ao
método de ordenadas discretas analítico foi usado para solução de
uma classe de problemas baseados nas equações cinéticas
\cite{knackfuss2006, knackfuss2006r} visando encontrar resultados
para análise dos efeitos da superfície, que são importantes em
fenômenos que envolvem a dinâmica de gases rarefeitos. Neste
sentido, é de suma importância a consideração de diferentes
coeficientes de acomodação. Com este objetivo, usa-se, neste
trabalho, as condições de contorno de Maxwell e de
Cercignani-Lampis (que descrevem a interação gás-superfície)
associadas ao método de ordenadas discretas analítico (ADO)
\cite{Barichello1999a} para obter a solução do problema {\it
Creep}-Térmico, baseado no modelo BGK \cite{Bhatnagar1954}, sendo
que as placas por onde o gás flui, possuem diferentes
constitui\c{c}\~{o}es qu\'{\i}micas \cite{Knackfuss2007}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newsec{Formulação Matemática}

Considera-se a equação cinética escrita em termos da perturbação
$h(y,{\bf c})$ para a função distribuição de uma Maxwelliana
local, como
\begin{eqnarray}
\lefteqn{ c_y\frac{\partial}{\partial y}h(y,{\bf c})+\varepsilon
h(y,{\bf c})= } \nonumber \\ & & \varepsilon\pi^{-3/2}
\displaystyle{\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}}
e^{{-c'}^{2}}\textbf{\textsl{F}}({\bf c'},{\bf c})h(y,{\bf
c'})\textrm{d}c'_x\textrm{d}c'_y\textrm{d}c'_z + S({\bf
c}),\label{eq1}
\end{eqnarray}
onde o núcleo de espalhamento, para o modelo BGK, é dado por
\begin{eqnarray*}
\textbf{\textsl{F}}({\bf c'},{\bf c})=1+2({\bf c'}\cdot{\bf
c})+(2/3)({c'}^2-3/2)(c^2-3/2). \label{eq2}
\end{eqnarray*}

Além disso, considera-se o caso unidimensional para a variável
adimensional $y$ (medida em termos do livre caminho médio $l$), as
componentes do vetor velocidade $(c_x,c_y,c_z)$ expressas em
unidades adimensionais,
\begin{eqnarray*}
S({\bf c})=-c_x(c_x^2+c_y^2+c_z^2-5/2) \qquad\mbox{e}\qquad
\varepsilon=\sigma_0^2n_0\pi^{1/2}l,
\end{eqnarray*}

\noindent sendo que $\sigma_0$ é o diâmetro de colisão das
partículas de gás na aproximação de esferas rígidas e $n_0$ é a
densidade de equilíbrio das partículas de gás.

Neste trabalho, investiga-se dois problemas espec\'{\i}ficos,
ambos descritos pela Eq. (\ref{eq1}) e diferenciados pelas
condi\c{c}\~{o}es de contorno. Para um dos problemas toma-se as
condi\c{c}\~{o}es de contorno de Maxwell e para o outro as de
Cercignani-Lampis \cite{Cercignani1988,Cercignani1971} que s\~{a}o
dadas, respectivamente, por
\begin{eqnarray}
h(\mp a,c_x,\pm
c_y,c_z)=\alpha_l\Big[2c_zu_{wl}+\frac{T_w-T_0}{T_0}(c^2-2)\Big]+
(1-\alpha_l)h(\mp a,c_x,\mp c_y,c_z)          \nonumber\\
+\frac{2\alpha_l}{\pi}
\int_{-\infty}^{0}c'_x\textrm{d}c'_x\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{{-c'}^{2}}
h(\mp a,c'_x,\mp c'_y,c'_z) \textrm{d}c'_y\textrm{d}c'_z, ~~~~
 \label{eq6}
\end{eqnarray}

\noindent onde $l=1,2$ representa as paredes do canal, $u_{wl}$ é
a velocidade da placa e $T_0$ é a temperatura constante de
referência, e
\begin{eqnarray}
\lefteqn{ h(\mp a,c_x,\mp c_y,c_z)= } \nonumber\\
& &
\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
h(\mp a,c'_x,\mp c'_y,c'_z){\mathit{R}_l}(c'_x,\mp
c'_y,c'_z:c_x,\pm c_y,c_z)
\textrm{d}c'_x\textrm{d}c'_z\textrm{d}c'_y,
 \label{eq8}
\end{eqnarray}

\noindent sendo
\begin{eqnarray}
{\mathit{R}_l}(c'_x,c'_y,c'_z:c_x,c_y,c_z)= \frac{c'_y}{\pi
\alpha_{n_l} \alpha_{t_l} (2-\alpha_{t_l})}
\mathit{T}_l(c'_x:c_x)\mathit{S}_l(c'_y:c_y)\mathit{T}_l(c'_z:c_z),
\label{eq10}
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray*}
\mathit{T}_l(x:y)=\mathrm{exp}
\bigg[{-\frac{[(1-\alpha_{t_l})y-x]^2}{\alpha_{t_l}(2-\alpha_{t_l})}}\bigg]
\end{eqnarray*}
%
\noindent e
\begin{eqnarray*}
\mathit{S}_l(x:y)=\mathrm{exp}\bigg[{-\frac{[(1-\alpha_{n_l})^{1/2}y-x]^2}{\alpha_{n_l}}}\bigg]\widehat{I}_0\bigg
[\frac{2(1-\alpha_{n_l})^{1/2}|xy|}{\alpha_{n_l}}\bigg ].
\end{eqnarray*}
\noindent Para efeitos computacionais escreve-se
\begin{eqnarray*}
\widehat{I}_{0}(w)=I_0(w)e^{-w},
\end{eqnarray*}

\noindent onde $I_0(w)$ é a função de Bessel modificada
\begin{eqnarray*}
I_0(w)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\textrm{e}^{w\cos\phi}\textrm{d}\phi.
\end{eqnarray*}

Nota-se que na Eq. (\ref{eq10}), o n\'{u}cleo de Cercignani-Lampis
inclui dois coeficientes de acomoda\c{c}\~{a}o definidos como:
coeficiente de acomodação da energia cinética devido a componente
normal da velocidade $(\alpha_n\in[0,1])$ e coeficiente de
acomodação do momento tangencial $(\alpha_t\in[0,2])$
\cite{Cercignani1971,Cercignani1988}. Fisicamente, o núcleo de
Cercignani-Lampis admite a reflexão para trás que pode ocorrer em
superfícies rugosas. No caso limite quando $\alpha_t=2$ e
$\alpha_n=0$, a velocidade troca de sinal após uma colisão com uma
superfície, trocando, assim, a sua direção. Quando $\alpha_t=1$ e
$\alpha_n=1$ o núcleo de Cercignani-Lampis Eq. (\ref{eq10})
coincide com uma reflexão difusa, por outro lado, no caso limite
$\alpha_t=0$ e $\alpha_n=0$, o mesmo torna-se uma reflexão
especular.


Para avaliar as grandezas físicas, segue-se Siewert
\cite{siewert2001} e obtém-se, para o perfil de velocidade
%
\begin{eqnarray}
u(y)=\pi^{-3/2}\displaystyle{\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}}
e^{{-c'}^{2}}h(y,c_x,c_y,c_z)c_x \vspace{0.3cm}
\textrm{d}c_x\textrm{d}c_y\textrm{d}c_z \label{veloc}
\end{eqnarray}
e para o perfil de fluxo de calor
\begin{eqnarray}
q(y)=\pi^{-3/2}\displaystyle{\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}}
e^{{-c'}^{2}}h(y,c_x,c_y,c_z)({\bf
c}^2-5/2)c_x\textrm{d}c_x\textrm{d}c_y\textrm{d}c_z. \label{calor}
\end{eqnarray}

Tendo em vista, a definição das grandezas físicas em termos de
momentos da função $h$, multiplica-se, respectivamente, a Eq.
(\ref{eq1}) por
\begin{eqnarray*}
\phi_1(c_x,c_z)=\frac{1}{\pi}c_xe^{-({c_x}^{2}+{c_z}^{2})}
\end{eqnarray*}
e
\begin{eqnarray*}
\phi_2(c_x,c_z)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}c_x({c_x}^{2}+{c_z}^{2}-2)e^{-({c_x}^{2}+{c_z}^{2})},
\end{eqnarray*}
integra-se em relação a $c_x$ e $c_z$, introduz-se a nova notação
$\xi=c_y$, define-se %e encontra-se a equação na forma vetorial
\begin{eqnarray*}
h_1(y,\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\phi_1(c_x,c_z)h(y,c_x,\xi,c_z)
\textrm{d}c_x\textrm{d}c_z
\end{eqnarray*}
e
\begin{eqnarray*}
h_2(y,\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\phi_2(c_x,c_z)h(y,c_x,\xi,c_z)
\textrm{d}c_x\textrm{d}c_z
\end{eqnarray*}
e encontra-se as equações
\begin{equation}
\xi\frac{\partial}{\partial
y}h_1(y,\xi)+h_1(y,\xi)=\pi^{-1/2}\int_{-\infty}^{\infty}
e^{{-\xi'}^{2}}h_1(y,\xi')\textrm{d}\xi'-\frac{1}{2}
 \label{eq21}
\end{equation}
e
\begin{equation}
\xi\frac{\partial}{\partial y}h_2(y,\xi)+h_2(y,\xi)=0.
\label{eq24}
\end{equation}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newsec{Formulação Vetorial}

Considerando-se ${\bf H} (y,\xi)$ um vetor com componentes
$h_1(y,\xi)$ e $h_2(y,\xi)$, pode-se reescrever as Eqs.
(\ref{eq21}) e (\ref{eq24}) na forma vetorial como
\begin{eqnarray}
\xi\frac{\partial}{\partial y}{\bf H} (y,\xi)+{\bf H}
(y,\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}{\bf \Psi}(\xi'){\bf H}
(y,\xi')\textrm{d}\xi'+{\bf S}^*(\xi),
 \label{eq25}
\end{eqnarray}
onde
\begin{equation}
{\bf \Psi}(\xi')=\pi^{-1/2}e^{{-\xi'}^{2}}{\bf Q},
 \label{eq26}
\end{equation}
\begin{eqnarray*}
{\bf Q}=\left [ \begin{array}{cc}1&0\\0&0\\
\end{array}
\right], \qquad
{\bf H}(y,\xi)=\left [ \begin{array}{c}h_1(y,\xi)\\h_2(y,\xi)\\
\end{array}
\right] \qquad \mbox{e}
\qquad {\bf S}^*(\xi)=\left [ \begin{array}{c}-\frac{1}{2}\xi^2+\frac{1}{4}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\\
\end{array}
\right].
\end{eqnarray*}

A metodologia usada na obten\c{c}\~{a}o da Eq. (\ref{eq25}) \'{e}
tamb\'{e}m aplicada nas condi\c{c}\~{o}es de contorno. Assim, para
as condi\c{c}\~{o}es de contorno de Maxwell, Eq. (\ref{eq6})
encontra-se, a equa\c{c}\~{a}o na forma vetorial
\begin{equation}
{\bf H}(\mp a,\pm \xi)=(1-\alpha_l){\bf H}(\mp a,\mp \xi).
 \label{eq30}
\end{equation}

Para as condi\c{c}\~{o}es de contorno de Cercignani-Lampis, Eq.
(\ref{eq8}) tem-se
\begin{equation}
{\bf H}(\mp a,\pm \xi)={\bf A}_l \int_{0}^{\infty}{\bf H}(\mp
a,\mp \xi')f_l(\xi',\xi)\textrm{d}\xi',
 \label{eq31}
\end{equation}
onde
\begin{equation}
{\bf A}_l=\left [ \begin{array}{cc}
1-\alpha_{t_l}&0\\
0&(1-\alpha_{t_l})^3\\
\end{array}
\right]
 \label{eq32}
\end{equation}
e
\begin{eqnarray}
f_l(\xi',\xi)=\frac{2\xi'}{\alpha_{n_l}}~\mathrm{exp}\bigg[{-\frac{[(1-\alpha_{n_l})^{1/2}{\xi}-{\xi'}]^{2}}
{\alpha_{n_l}}}\bigg]\widehat{I}_{0} \bigg
[\frac{2{(1-\alpha_{n_l})}^{1/2}\xi'\xi}{\alpha_{n_l}} \bigg ],
\label{eq33}
\end{eqnarray}
com $l=1,2$.

Baseado na notação vetorial, pode-se expressar as grandezas
físicas, Eqs. (\ref{veloc}) e (\ref{calor}), como
\begin{equation}
u(y)={\pi}^{-1/2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{{-\xi}^{2}}[1~~~~0]{\bf
H} (y,\xi)\textrm{d}\xi
 \label{eq34}
\end{equation}
e
\begin{equation}
q(y)={\pi}^{-1/2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{{-\xi}^{2}}\Big[(\xi^2-1/2)~~~~\sqrt{2}\Big]
{\bf H}(y,\xi)\textrm{d}\xi, \label{eq35}
\end{equation}
que representam, respectivamente, o perfil de velocidade e o
perfil de fluxo de calor.

Além dessas grandezas físicas, avalia-se também a taxa de fluxo de
partículas
\begin{equation}
U=\frac{1}{2a^2}\int_{-a}^{a}u(y)\textrm{d}y
 \label{eq36}
\end{equation}
e a taxa de fluxo de calor
\begin{equation}
Q=\frac{1}{2a^2}\int_{-a}^{a}q(y)\textrm{d}y.
 \label{eq37}
\end{equation}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newsec{Desenvolvimento da Solução}

O problema definido pela Eq. (\ref{eq25}) é não-homogêneo, então
sua solução é escrita na forma
\begin{equation}
{\bf H}(y,\xi)= {\bf H}^h(y,\xi)+{\bf H}^p(y,\xi).
 \label{eq38}
\end{equation}
Para o problema homogêneo encontra-se a solução particular
\begin{eqnarray*}
{\bf H}^{p}(y,\xi)=\left [ \begin{array}{c}
-\frac{1}{2}\xi^2+\frac{1}{4}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}\\
\end{array}
\right].
\end{eqnarray*}

Substituindo-se a Eq. (\ref{eq38}) nas Eqs. (\ref{eq25}),
(\ref{eq30}) e (\ref{eq31}), conclui-se que a solução homogênea
deve satisfazer a equação
\begin{equation}
\xi\frac{\partial}{\partial y}{\bf H}^h (y,\xi)+{\bf
H}^h(y,\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}{\bf \Psi}(\xi'){\bf
H}^h(y,\xi')\textrm{d}\xi',
 \label{eq40}
\end{equation}
as condições de contorno de Maxwell
\begin{equation}
{\bf H}^h(\mp a,\pm \xi)-(1-\alpha_l){\bf H}^h(\mp a,\mp \xi)={\bf
R}^*_l(\xi)
 \label{eq41}
\end{equation}
e as condições de contorno de Cercignani-Lampis
\begin{eqnarray}
{\bf H}^h(\mp a,\pm \xi)-{\bf A}_l\int_{0}^{\infty}{\bf H}^h(\mp
a,\mp \xi')f_l(\xi',\xi)\textrm{d}\xi'={\bf R}_l(\xi),
 \label{eq43}
\end{eqnarray}
onde ${\bf \Psi}(\xi')$ \'{e} dada pela Eq. (\ref{eq26}),
\begin{equation}
{\bf R}^*_l(\xi)=(1-\alpha_l){\bf H}^p(\mp a,\mp \xi)-{\bf
H}^p(\mp a,\pm \xi)
 \label{eq42}
\end{equation}
e
\begin{eqnarray}
{\bf R}_l(\xi)={\bf A}_l\int_{0}^{\infty}{\bf H}^p(\mp a,\mp
\xi')f_l(\xi',\xi)\textrm{d}\xi'-{\bf H}^p(\mp a,\pm \xi).
 \label{eq44}
\end{eqnarray}
Aqui, ${\bf A}_l$ e $f_l(\xi',\xi)$ são dadas, respectivamente,
pelas Eqs. (\ref{eq32}) e (\ref{eq33}).

Observa-se que $l$ nas Eqs. (\ref{eq41})-(\ref{eq44}) assume os
valores 1 ou 2 representando as paredes do canal.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Solução em Ordenadas discretas}

Os problemas homogêneos, Eqs. (\ref{eq40})-(\ref{eq43}), são
resolvidos através do método de ordenadas discretas analítico.
Para isto, define-se um esquema de quadratura e reescreve-se a Eq.
(\ref{eq38}) na versão de ordenadas discretas como
\begin{eqnarray}
\pm\xi_i\frac{d}{d y}{\bf H}^h(y,\pm\xi_i)+{\bf
H}^h(y,\pm\xi_i)=\sum\limits_{k=1}^N \omega_k{\bf
\Psi}(\xi_k)[{\bf H}^h(y,\xi_k)+{\bf H}^h(y,-\xi_k)].
 \label{eq46}
\end{eqnarray}

Para as Eqs (\ref{eq46}) propõe-se as soluções
\begin{eqnarray*} {\bf H}^h(y,\pm \xi)={\bf
\Phi}(\nu,\pm \xi)~e^{-y/\nu}
\end{eqnarray*}
que substituindo-se na Eq. (\ref{eq46}) encontra-se
\begin{eqnarray*}
(\nu\mp\xi_i){\bf \Phi}(\nu,\pm\xi_i)=\nu\sum_{k=1}^N \omega_k{\bf
\Psi}(\xi_k)[{\bf \Phi}(\nu,\xi_k)+{\bf \Phi}(\nu,-\xi_k)].
\end{eqnarray*}
Tem-se, agora, os vetores $\bf \Phi_+(\nu)$ e $\bf \Phi_-(\nu)$ de
dimensão $2N\times1$, com $N$ componentes, $2\times1$, definidas,
respectivamente, por $\bf \Phi(\nu,\xi_k)$ e $\bf
\Phi(\nu,-\xi_k)$. Escrevendo-se
\begin{eqnarray*}
{\bf U}={\bf \Phi}_+(\nu)+{\bf \Phi}_-(\nu)
\end{eqnarray*}
e após algumas manipulações algébricas, encontra-se o problema de
autovalores, com autovalores $1/\nu^2$, obtendo-se, assim, os
valores da constante de separação $\nu$. Logo, a solução em
ordenadas discretas para a equação homogênea é dada por
\begin{eqnarray}
{\bf H}^h_{\pm}(y)=A_1{\bf \Phi}^1+B_1{\bf \Phi}_\pm^2+\sum
\limits_{j=2}^{2N}[A_j{\bf \Phi}_{\pm}(\nu_j)
e^{-(a+y)/\nu_j}+B_j{\bf \Phi}_{\mp}(\nu_j)e^{-(a-y)/\nu_j}],
 \label{eq56}
\end{eqnarray}
onde introduz-se as soluç\~{o}es exatas, ${\bf \Phi}^1$ e ${\bf
\Phi}_\pm^2$ de dimensões $2N\times1$, definidas, respectivamente,
por $N$ (vetores) componentes da forma
\begin{equation}
{\bf F}^1=\left [ \begin{array}{c}
1\\0\\
\end{array}
\right]
 %\label{eq57}
%\end{equation}
\qquad\mbox{e}\qquad
%\begin{equation}
{\bf F}^2_\pm(y)=\left [ \begin{array}{c}
y\mp\xi\\0\\
\end{array}
\right].
 \label{eq58}
\end{equation}

Agora, com o objetivo de encontrar as grandezas f\'{\i}sicas,
levando em conside-ra\c{c}\~{a}o gases rarefeitos confinados entre
placas paralelas com constitui\c{c}\~{o}es qu\'{\i}micas
diferentes, n\~{a}o usa-se, aqui, a condi\c{c}\~{a}o de simetria,
$\bf {H}(y,\xi)=\bf {H}(-y,-\xi)$, como usada em Knackfuss e
Barichello \cite{knackfuss2006}. Este fato, \'{e} refletido,
diretamente, no n\'{u}mero de constantes arbitr\'{a}rias presentes
na solu\c{c}\~{a}o do problema homog\^{e}neo, ou seja,
analiticamente, obt\'{e}m-se um sistema alg\'{e}brico quadrado de
ordem $4N$, diferentemente, do sistema $2N$ obtido em Knackfuss e
Barichello \cite{knackfuss2006}.

Para determinar as constantes arbitr\'{a}rias $A_j$ e $B_j$,
$j=1,\ldots,2N$, para o caso de condi\c{c}\~{o}es de contorno de
Maxwell, substitui-se a Eq. (\ref{eq56}) na Eq. (\ref{eq41}) e
para o caso das condições de Cercignani-Lampis substitui-se a Eq.
(\ref{eq56}) na Eq. (\ref{eq43}) obtendo-se dois sistemas de
equa\c{c}\~{o}es alg\'{e}bricas lineares.

Finalmente, encontra-se a solução completa
\begin{eqnarray}
{\bf H}_\pm(y)&=&{\bf H}^{p}_\pm(y)+A_1{\bf \Phi}^1+B_1{\bf
\Phi}_\pm^2 \nonumber \\
&+&\sum\limits_{j=2}^{2N}[A_j{\bf
\Phi}_{\pm}(\nu_j)e^{-(a+y)/\nu_j}+B_j{\bf
\Phi}_{\mp}(\nu_j)e^{-(a-y)/\nu_j}].
 \label{eq67}
\end{eqnarray}
Aqui, ${\bf H}^{p}_\pm(y)={\bf H}^{p}(y,\pm\xi_k)$ denota um vetor
$2N\times1$ com $N$ componentes $2\times1$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newsec{Grandezas Físicas de Interesse}

Para obter as grandezas físicas, na versão em ordenadas discretas,
substitui-se a Eq. (\ref{eq67}) nas Eqs. (\ref{eq34}) -
(\ref{eq37}).

No que segue usa-se as seguintes defini\c{c}\~{o}es
\begin{eqnarray*}
{\bf N}(\nu_j)=[\omega_1 {\bf \Lambda}(\xi_1)~~\omega_2 {\bf
\Lambda}(\xi_2)~~\cdot\cdot\cdot~~\omega_N {\bf
\Lambda}(\xi_N)][{\bf \Phi}_+(\nu_j)+{\bf \Phi}_-(\nu_j)]
\end{eqnarray*}
com componentes $N_1(\nu_j)$ e $N_2(\nu_j)$, onde
\begin{eqnarray*}
{\bf \Lambda}(\xi)=\pi^{-1/2} e^{-{\xi}^2}\left [
\begin{array}{cc}
1&0\\
\xi^2-1/2&\sqrt{2}\\
\end{array}
\right]
\end{eqnarray*}
e as expressões
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{ccl}
M(y)&=& A_j~e^{-(a+y)/\nu_j} \\
Q(y)&=& B_j~e^{-(a-y)/\nu_j} \\
O(y)&=& A_j~\nu_j~(1-e^{-(2a)/\nu_j}) \\
P(y)&=& B_j~\nu_j~(1-e^{-(2a)/\nu_j})
\end{array}
\end{eqnarray*}
para escrever:

perfil de velocidade
\begin{eqnarray*}
u(y)=A_1+B_1y+\sum_{j=2}^{2N}\Big[M_j(y)+Q_j(y)\Big]N_1(\nu_j);
\end{eqnarray*}

perfil de fluxo de calor
\begin{eqnarray*}
q(y)=-\frac{5}{4}+\sum_{j=2}^{2N}\Big[M_j(y)+Q_j(y)\Big]N_2(\nu_j);
\end{eqnarray*}

taxa de fluxo de partículas
\begin{eqnarray*}
U=\frac{1}{2a^2}\bigg[2aA_1+\sum_{j=2}^{2N}\Big[O_j(y)+P_j(y)\Big]N_1(\nu_j)\bigg];
\end{eqnarray*}

taxa de fluxo de calor
\begin{eqnarray*}
Q=\frac{1}{2a^2}\bigg[-\frac{5a}{2}+\sum_{j=2}^{2N}\Big[O_j(y)+P_j(y)\Big]N_2(\nu_j)\bigg].
\end{eqnarray*}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newsec{Resultados Numéricos}

A implementação computacional, para avaliar os resultados
numéricos, foi desenvolvida através de programas em linguagem
FORTRAN. Para implementar as soluções, inicialmente, define-se o
esquema de quadratura associado ao método de ordenadas discretas
analítico (ADO). Para muitos problemas na dinâmica de gases
rarefeitos, a utilização do procedimento a seguir, tem se mostrado
adequado \cite{knackfuss2006r,Knackfuss2007}. Objetivando-se
calcular as integrais no intervalo $[0,\infty)$, usa-se a
transformação não-linear
\begin {eqnarray*}
u(\xi)=\textrm {e}^{-\xi}
\end{eqnarray*}
para mapear $\xi\in[0,\infty)$ sob $u\in[0,1]$, e então usa-se o
esquema de quadratura de Gauss-Legendre mapeado linearmente no
intervalo $[0,1]$. O próximo passo é a determinação dos
autovalores (constantes de separação) e autovetores. Por fim,
encontra-se as constantes arbitrárias para, então, obter-se as
grandezas físicas de interesse.

Os resultados são apresentados nas Tabelas \ref{T1} a \ref{T4} e
nas Figuras \ref{F1} a \ref{F3} para diferentes gases, obtidos com
$N=60$ pontos de quadraturas. Os números entre parênteses que
aparecem nestas tabelas representam potências de dez. As notações
DE e CL representam, respectivamente, condições de contorno
difuso-especular (Maxwell) e condições de contorno de
Cercignani-Lampis. Na equação cinética, dada pela Eq. (\ref{eq1}),
o parâmetro de adimensionalização $\varepsilon$ foi considerado
arbitrário. No caso do modelo BGK, quando $\varepsilon$ é avaliado
em termos da viscosidade ou da condutividade térmica, o seu valor
é igual a 1, isto é, $\varepsilon=\varepsilon_p=\varepsilon_t=1$.

Na obten\c{c}\~{a}o dos resultados num\'{e}ricos apresentados nas
tabelas e nos gráficos que seguem, considera-se os seguintes gases
nobres: Ne (Ne\^{o}nio), Xe (Xen\^{o}nio) e Ar (Arg\^{o}nio). Os
valores para os coeficientes de acomodação tangencial
$(\alpha_{t_1})$ e coeficiente de acomoda\c{c}\~{a}o $(\alpha_1)$,
para a superfície 1, são formulados em termos de valores
experimentais dados por Lord \cite{Lord1977}. Para a superfície 2,
os valores dos coeficientes $(\alpha_{t_2}$ e $\alpha_2)$ foram
reproduzidos de Sharipov \cite{Sharipov2004} que segue o trabalho
experimental de Porodnov {\it et al}. \cite{Porodnov1974}.

Em relação ao coeficiente de acomodação normal ($\alpha_{n_1}$ e
$\alpha_{n_2}$), segundo nosso conhecimento, não existem
resultados experimentais, assim, escolhe-se valores numéri-cos
baseados no coeficiente de acomodação térmico dos gases listados
acima, apresentados no trabalho de Thomas \cite{Thomas1967}.

\vspace{0.5cm}

\noindent Ne: $\alpha _{t_1}=0,31$, $\alpha _{n_1}=0,178$, $\alpha
_{t_2}=0,849$ e $\alpha _{n_2}=0,082$

\noindent Xe: $\alpha _{t_1}=0,95$, $\alpha _{n_1}=0,77$, $\alpha
_{t_2}=1,014$ e $\alpha _{n_2}=0,68$

\noindent Ar: $\alpha _{t_1}=0,67$, $\alpha _{n_1}=0,44$, $\alpha
_{t_2}=0,916$ e $\alpha _{n_2}=0,222$

% Primeira tabela
\begin{table}[H]
\centering \caption {{\it Creep}-Térmico: perfil de velocidade
$u(y)$, modelo $\textrm{BGK}$, $2a=1$} \scriptsize{
\begin{tabular}{|l|ll|ll|ll|} \hline &
 \multicolumn{2}{c|}{\rule{0cm}{0.4cm}$\textrm{Ne}$} & %\rule eh para dar espaco entre o traco horiz e as letras
 \multicolumn{2}{c|}{$\textrm{Xe}$} &
 \multicolumn{2}{c|}{$\textrm{Ar}$}\\
\cline{2-3} \cline{4-5} \cline{6-7} \raisebox{1.5ex}{$y/a$} &
\multicolumn{1}{c}{$\textrm{DE}$} &
\multicolumn{1}{c|}{$\textrm{CL}$} &
\multicolumn{1}{c}{$\textrm{DE}$} &
 \multicolumn{1}{c|}{$\textrm{CL}$} &
 \multicolumn{1}{c}{$\textrm{DE}$} &
 \multicolumn{1}{c|}{$\textrm{CL}$}\\
%$\textrm{DE}$ & $\textrm{CL}$ && $\textrm{DE}$ & $\textrm{CL}$ && $\textrm{DE}$ & $\textrm{CL}$ \\
\hline \rule{-0.1cm}{0.3cm}
0,0&1,96663(--1)&1,92295(--1)&1,70039(--1)&1,70138(--1)&1,78803(--1)&1,75957(--1)\\
0,2&1,90684(--1)&1,94052(--1)&1,67501(--1)&1,68025(--1)&1,75256(--1)&1,74686(--1)\\
0,4&1,81283(--1)&1,92527(--1)&1,60103(--1)&1,61237(--1)&1,67627(--1)&1,69138(--1)\\
0,6&1,67406(--1)&1,87266(--1)&1,47402(--1)&1,48766(--1)&1,54904(--1)&1,58442(--1)\\
0,8&1,46528(--1)&1,76846(--1)&1,26036(--1)&1,27908(--1)&1,34502(--1)&1,40219(--1)\\
1,0&1,05366(--1)&1,53234(--1)&8,12923(--1)&8,39940(--1)&9,25639(--1)&1,01487(--1)\\
 \hline %\hline
\end{tabular}}
\label{T1}
\end{table}

% Segunda tabela
\begin{table}[H]
\centering \caption {{\it Creep}-Térmico: perfil de fluxo de calor
$q(y)$, modelo $\textrm{BGK}$, $2a=1$} \scriptsize{
\begin{tabular}{|l|ll|ll|ll|} \hline   &
 \multicolumn{2}{c|}{\rule{0cm}{0.4cm}$\textrm{Ne}$} &
 \multicolumn{2}{c|}{$\textrm{Xe}$}&
 \multicolumn{2}{c|}{$\textrm{Ar}$}\\
\cline{2-3} \cline{4-5} \cline{6-7} \raisebox{1.0ex}{$y/a$} &
\multicolumn{1}{c}{$\textrm{DE}$} &
\multicolumn{1}{c|}{$\textrm{CL}$} &
\multicolumn{1}{c}{$\textrm{DE}$} &
\multicolumn{1}{c|}{$\textrm{CL}$} &
\multicolumn{1}{c}{$\textrm{DE}$} &
 \multicolumn{1}{c|}{$\textrm{CL}$}\\
%$\textrm{DE}$ & $\textrm{CL}$ && $\textrm{DE}$ & $\textrm{CL}$ && $\textrm{DE}$ & $\textrm{CL}$\\
\hline \rule{-0.1cm}{0.3cm}
0,0&--9,24828(--1)&--8,49847(--1)&--7,87685(--1)&--7,82379(--1)&--8,49444(--1)&--7,95456(--1)\\
0,2&--9,06489(--1)&--8,52612(--1)&--7,79281(--1)&--7,75553(--1)&--8,37501(--1)&--7,89891(--1)\\
0,4&--8,77749(--1)&--8,43552(--1)&--7,56150(--1)&--7,53912(--1)&--8,12911(--1)&--7,69944(--1)\\
0,6&--8,34752(--1)&--8,20334(--1)&--7,14338(--1)&--7,13625(--1)&--7,71888(--1)&--7,31978(--1)\\
0,8&--7,68318(--1)&--7,76291(--1)&--6,43387(--1)&--6,44429(--1)&--7,04812(--1)&--6,66169(--1)\\
1,0&--6,31486(--1)&--6,74377(--1)&--4,87967(--1)&--4,91807(--1)&--5,61409(--1)&--5,20247(--1)\\
\hline
\end{tabular}}
\label{T2}
\end{table}

% Terceira tabela
\begin{table}[H]
\centering \caption {{\it Creep}-Térmico: taxa de fluxo de
part\'{\i}culas $U$, modelo $\textrm{BGK}$} \scriptsize{
\begin{tabular}{|l|ll|ll|ll|} \hline &
 \multicolumn{2}{c|}{\rule{0cm}{0.4cm}$\textrm{Ne}$} &
 \multicolumn{2}{c|}{$\textrm{Xe}$} &
 \multicolumn{2}{c|}{$\textrm{Ar}$}\\
\cline{2-3} \cline{4-5} \cline{6-7} \raisebox{1.5ex}{$~~a$} &
\multicolumn{1}{c}{$\textrm{DE}$} &
\multicolumn{1}{c|}{$\textrm{CL}$} &
\multicolumn{1}{c}{$\textrm{DE}$} &
 \multicolumn{1}{c|}{$\textrm{CL}$} &
 \multicolumn{1}{c}{$\textrm{DE}$} &
 \multicolumn{1}{c|}{$\textrm{CL}$}\\
\hline \rule{-0.1cm}{0.3cm}
~0,1 &8,32005(--1)&7,44537(--1)&5,66656(--1)&5,58912(--1)&6,74913(--1)&6,07628(--1)\\
~1,0 &2,26824(--1)&2,26256(--1)&2,04387(--1)&2,06370(--1)&2,08640(--1)&2,10961(--1)\\
10,0 &2,22940(--2)&3,24119(--2)&3,17063(--2)&3,56128(--2)&2,38784(--2)&3,44094(--2)\\
\hline
\end{tabular}}
\label{T3}
\end{table}

% Quarta tabela
\begin{table}[H]
\centering \caption {{\it Creep}-Térmico: taxa de fluxo de calor
$Q$, modelo $\textrm{BGK}$} \scriptsize{
\begin{tabular}{|l|ll|ll|ll|} \hline &
 \multicolumn{2}{c|}{\rule{0cm}{0.4cm}$\textrm{Ne}$} &
 \multicolumn{2}{c|}{$\textrm{Xe}$} &
 \multicolumn{2}{c|}{$\textrm{Ar}$}\\
\cline{2-3} \cline{4-5} \cline{6-7} \raisebox{1.5ex}{$~~a$} &
\multicolumn{1}{c}{$\textrm{DE}$} &
\multicolumn{1}{c|}{$\textrm{CL}$} &
\multicolumn{1}{c}{$\textrm{DE}$} &
 \multicolumn{1}{c|}{$\textrm{CL}$} &
 \multicolumn{1}{c}{$\textrm{DE}$} &
 \multicolumn{1}{c|}{$\textrm{CL}$}\\
\hline \rule{-0.1cm}{0.3cm}
~0,1 &--4,55721     &--3,60082     &--3,09562     &--3,04326     &--3,72527     &--3,13029     \\
~1,0 &--1,02991     &--9,64696(--1)&--9,05145(--1)&--9,00083(--1)&--9,62584(--1)&--9,13232(--1)\\
10,0 &--1,22575(--1)&--1,21770(--2)&--1,20918(--1)&--1,20849(--1)&--1,21692(--1)&--1,21055(--1)\\
\hline %\hline
\end{tabular}}
\label{T4}
\end{table}

Para enfatizar os resultados obtidos, reproduz-se abaixo alguns
gráficos, Figs. \ref{F1} a \ref{F3}.

Nas Figs. \ref{F1} e \ref{F2}, observa-se que os resultados não
são sensíveis aos coeficientes de acomodação tangencial e normal.
Na Fig. \ref{F3}, nota-se que tanto em 3(a) como em 3(b) há uma
similaridade entre as curvas quando usados diferentes núcleos de
espalhamento (Maxwell e Cercignani-Lampis), mostrando que os
resultados das grandezas físicas não são sensíveis às condicões de
contorno adotadas, quando considerados $\alpha_t=\alpha$.

%Graficos 1 e 2
\begin{figure}[H]
\centering \subfigure[$\alpha_{t1}=0,31$, $\alpha_{t2}=0,849$]
{\scalebox{1}{\includegraphics[height=3.8cm,width=5.5cm]{Vel_Creep_CL_1.eps}}}
\hspace{1cm} \subfigure[$\alpha_{n1}=0,178$, $\alpha_{n2}=0,082$]
{\scalebox{1}{\includegraphics[height=3.8cm,width=5.5cm]{Vel_Creep_CL_2.eps}}}
\caption {{\it Creep}-Térmico - Modelo BGK - Condições de Contorno
de Cercignani-Lampis - Perfil de Velocidade, $2a=1$.}
 \label{F1}
\end{figure}

%Graficos 3 e 4
\begin{figure}[H]
\centering \subfigure[$\alpha_{t1}=0,31$, $\alpha_{t2}=0,849$]
{\scalebox{1}{\includegraphics[height=3.8cm,width=5.5cm]{Cal_Creep_CL1.eps}}}
\hspace{1cm} \subfigure[$\alpha_{n1}=0,178$, $\alpha_{n2}=0,082$]
{\scalebox{1}{\includegraphics[height=3.8cm,width=5.5cm]{Cal_Creep_CL2.eps}}}
\caption {{\it Creep}-Térmico - Modelo BGK - Condições de Contorno
de Cercignani-Lampis - Perfil de Fluxo de Calor, $2a=1$.}
 \label{F2}
\end{figure}

%Graficos 5 e 6
\begin{figure}[H]
\centering \subfigure[Perfil de Velocidade]
{\scalebox{1}{\includegraphics[height=3.8cm,width=5.5cm]{Vel_Creep_DE_CL_1.eps}}}
\hspace{1cm} \subfigure[Perfil de Fluxo de Calor]
{\scalebox{1}{\includegraphics[height=3.8cm,width=5.5cm]{Cal_Creep_DE_CL1.eps}}}
\caption {{\it Creep}-Térmico - Modelo BGK - Condições de Contorno
Difuso Especular e Cercignani-Lampis, $2a=1$, $\alpha_{n1}=0,178$
e $\alpha_{n2}=0,082$.}
 \label{F3}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newsec{Considerações Finais}
A versão analítica do método de ordenadas discretas, baseado no
esquema de quadratura do tipo {\it half-range}, foi usado para
desenvolver a solução para o problema {\it Creep}-Térmico na
dinâmica de gases rarefeitos, com a interação gás-superfície
modelada através do núcleo de Maxwell e de Cercignani-Lampis,
considerando-se superfícies com composições químicas diferentes.

Os resultados baseados no modelo BGK com condições de contorno de
Maxwell não apresentaram uma diferença significativa quando
comparados com os resultados usando as condições de contorno de
Cercignani-Lampis.

A condi\c{c}\~{a}o de simetria n\~{a}o utilizada neste trabalho,
torna flex\'{\i}vel a an\'{a}lise do comportamento da din\^{a}mica
de gases rarefeitos, no sentido de se poder variar os materiais
das placas entre as quais o g\'{a}s flui.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{abstract}
{\bf Abstract}. In this work, numerical results are presented for
velocity and heat-flow profiles and particle and heat-flow rates
of a rarefied gas confined in a plane channel defined by two
parallel plates subject to a temperature gradient. The problem is
modeled by the BGK kinetic equation and two different types of
surface-gas interaction law are analyzed, i. e., the
Cercignani-Lampis model that is defined in terms of normal and
tangential accommodation coefficients and the usual Maxwell model.
Here, the two parallel plates have different chemical
compositions, i. e., with different accommodation coefficients. A
modern analytical version of the discrete-ordinates method (ADO)
is used to solve this problem and a detailed analysis is performed
in regard to the influence of the surfaces on the physical
quantities.

\end{abstract}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{thebibliography}{8}

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\end{document}
\newpage
$ \  \  $  \thispagestyle{myheadings}  \markboth{      }{   }
