%% Antes de processar este arquivo LaTeX (LaTeX2e) deve %% verificar que o arquivo TEMA.cls estah no mesmo %% diretorio. O arquivo TEMA.cls pode ser obtido do %% endereco www.sbmac.org.br/tema. \documentclass{TEMA} \usepackage[brazil]{babel} % para texto em Português %\usepackage[english]{babel} % para texto em Inglês \usepackage[latin1]{inputenc} % para acentuação em Português %\input{P-margin.inf} \usepackage[dvips]{graphics} \usepackage{subfigure} \usepackage{graphicx} \usepackage{epsfig} \usepackage{comment} \newcommand{\B}{{\tt\symbol{92}}} \newcommand{\til}{{\tt\symbol{126}}} \newcommand{\chap}{{\tt\symbol{94}}} \newcommand{\agud}{{\tt\symbol{13}}} \newcommand{\crav}{{\tt\symbol{18}}} \begin{document} %******************************************************** \title {Simulação Numérica de Modelo de Transmissão de Dengue em Microregião no Sudoeste da Bahia} \author {D. A. SANTOS% \thanks{djan.santos@ifba.edu.br}\,, Programa de Pós-Graduação em Ciências Ambientais, PPGCA, UESB - Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, Praça Primavera, 40, Bairro Primavera, 45700-000 Itapetinga, BA, Brasil.\\ Colegiado de Sistemas de Informação, CSI, IFBA - Instituto Federal da Bahia, Av. Amazonas, 3150, Bairro Zabelê, 45030-220 Vitória da Conquista, BA, Brasil. \\ \\ R. THIBES% \thanks{thibes@uesb.edu.br}\,, Departamento de Estudos Básicos e Instrumentais, DEBI, UESB - Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, Praça Primavera, 40, Bairro Primavera, 45700-000 Itapetinga, BA, Brasil.} \criartitulo \runningheads {Santos e Thibes}{} \begin{abstract} {\bf Resumo}. Considerando um sistema de equações diferenciais envolvendo populações de duas espécies interagentes, analisamos um modelo contínuo SIR de transmissão de dengue. Descrevemos o comportamento de humanos susceptíveis, humanos infectados e mosquitos infectados no limite assintótico do modelo. Efetuamos simulações numéricas com parâmetros ajustados à microrregião do sudoeste da Bahia no período de junho de 2008 a maio de 2012, comparando com dados reais. Discutimos os pontos de equilíbrio do modelo no contexto da microregião estudada. {\bf Palavras-chave}. Dengue, din\^amica populacional, equações diferenciais, modelo SIR. {\bf Abstract}. Considering a system of differential equations involving populations of two interacting species, we study a continuous SIR model of dengue transmission. We describe the behavior of susceptible humans, infected humans and infected mosquitoes in the asymptotic limit of the model. We performe numerical simulations with parameters adjusted to the microrregion of southwestern Bahia from June 2008 to May 2012, comparing with true data. We discuss the equilibrium points of the model in the context of the studied microregion. {\bf Keywords}. Dengue, populational dynamics, differential equations, SIR model. \end{abstract} %******************************************************** \newsec{Introdução} A dengue é considerada um dos maiores problemas de sa\'ude p\'ublica no mundo. O v\'irus \'e transmitido pelo mosquito {\it Aedes aegypti}, origin\'ario da \'Africa, onde se domesticou e adaptou ao ambiente urbano. Nas Am\'ericas \'e o maior transmissor da doen\c{c}a com import\^ancia epidemiol\'ogica. Desde a metade da d\'ecada de 90, os pa\'ises das Am\'ericas Central e do Sul passaram a contribuir com muito mais da metade dos casos notificados da doen\c{c}a no mundo. Em 2010 foram detectados 1,69 milh\~oes de casos de dengue em toda a Am\'erica Latina, acarretando 1185 óbitos, comprovando a caracter\'istica end\^emica da doen\c{c}a \cite {OPS}. Entre os pa\'ises que mais registraram surtos estiveram Brasil, Col\^ombia, Guatemala, Honduras, Nicar\'agua, M\'exico, Porto Rico, Rep\'ublica Dominicana, Venezuela, al\'em de pa\'ises e territ\'orios do Caribe \cite {OPS}. Entre 1 de janeiro e 3 de mar\c{c}o de 2012, foram registrados 76.906 casos da doen\c{c}a no Brasil \cite {SVS}. Estudos recentes sobre a dis\-se\-mi\-na\-ção da doença indicam que fatores ambientais como temperatura e precipitação pluviométrica, aliados a potenciais criadouros (recipientes que podem acumular água) e à disponibilidade de sangue (em geral de humanos), são de grande importância na atividade do mosquito e consequente dis\-se\-mi\-na\-ção da doença \cite{JACKSON}. A transmissão se dá pela picada da fêmea do mosquito {\it Aedes aegypti} no homem, pois ela precisa do sangue humano para maturação de seus ovos e acaba introduzindo o vírus pela sua saliva. A primeira epidemia de dengue identificada no Brasil aconteceu no estado de Roraima, nos idos de 1982, possivelmente oriunda de países que fazem fronteira com o país naquela região. O Brasil é um dos países mais atingidos pela dengue, a cada ano os casos se multiplicam. Um exemplo concreto foi a epidemia de 2008 que aconteceu no Rio de Janeiro e em diversos municípios daquele estado: foram notificados mais de 240 mil casos da DF (\textit{Dengue Fever} - Dengue Clássica), mais de 11 mil hospitalizações, 1.364 casos de DHF (\textit{Dengue Hemorrhagic Fever} - Dengue Hemorrágica), 169 óbitos confirmados e mais de 150 casos investigados e sem conclusão \cite{MS}. Atualmente, o mosquito {\it Aedes aegypti} encontra-se disseminado por praticamente todo o territ\'orio nacional com tr\^es dentre os quatro sorotipos existentes do v\'irus (DENV-1, DENV-2 e DENV-3) ativos no Brasil\footnote{Alguns casos isolados já foram registrados do DENV-4 no Brasil \cite{SVS2}.} \cite{JACKSON}. O quadro epidemiol\'ogico tem se caracterizado por epidemias recorrentes, mais vis\'iveis nos grandes centros urbanos. As a\c{c}\~oes de controle existentes, al\'em de custosas, t\^em se mostrado ineficientes, principalmente devido \`a explos\~ao populacional desorganizada e às m\'as condi\c{c}\~oes de vida da maioria da popula\c{c}\~ao em pa\'ises como o Brasil. Neste cen\'ario, visando entender os mecanismos de transmiss\~ao da doen\c{c}a, bem como compreender e do\-mi\-nar seus processos end\^emicos, utilizamos um modelo matemático de equações diferenciais ordinárias, baseado no bem conhecido modelo SIR, proposto originalmente por Kermack e McKendrick em 1927 \cite{SIRClassico}. Na literatura recente podemos encontrar propostas de modelos similares para o problema \cite{JACKSON, Muldowney, esteva, yang, PINHO}. Discutimos o controle da popula\c{c}\~ao vetorial atrav\'es da determina\c{c}\~ao de condi\c{c}\~oes de limiar para a exist\^encia ou n\~ao de pontos de equil\'ibrio est\'aveis ou inst\'aveis com vistas a caracterizar situa\c{c}\~oes de epidemia. Aplicamos o modelo a uma microrregi\~ao brasileira com alto grau de incid\^encia da doen\c{c}a, comparando dados reais com a previs\~ao do modelo. \newsec{O Modelo Matemático} A transmiss\~ao do v\'irus da dengue se d\'a pela picada de um mosquito infectado a um ser humano exposto \`a doen\c{c}a. Considerando um modelo cont\'\i nuo para a evolu\c c\~ao din\^amica das popula\c c\~oes humana e de mosquitos, essa picada ocorre atrav\'es da intera\c c\~ao entre setores das correspondentes popula\c c\~oes, caracterizada por produtos de fun\c c\~oes diferenci\'aveis. Seguimos aqui o modelo e notação propostos por Steva e Vargas \cite {esteva} objetivando descrever a transmiss\~ao da doen\c{c}a para um dos quatro sorotipos poss\'iveis da dengue. Subdividimos a popula\c{c}\~ao humana da regi\~ao de estudo $N_H$ em três setores distintos: suscept\'iveis $(\bar{S}_H)$, seres humanos n\~ao infectados pela doen\c{c}a; infectados $(\bar{I}_H)$, humanos portadores do v\'irus, capazes de transmiti-lo aos mosquitos; e removidos $(\bar{R}_H)$, indiv\'iduos que contra\'iram o v\'irus e se tornaram imunes \`aquele sorotipo. Naturalmente, temos a relação de consist\^encia %Portanto temos o v\'inculo \begin{equation} N_H = \bar{S}_H + \bar{I}_H + \bar{R}_H \,. \label{v1} \end{equation} %com $N_H$ constante. Consideramos uma taxa de natalidade per capita para a popula\c c\~ao humana $\mu_H$ igual \`a de mortalidade, de maneira que a popula\c{c}\~ao total $N_H$ permanece constante. Em rela\c{c}\~ao \`a popula\c{c}\~ao de vetores transmissores $N_V$, nesse caso os mosquitos, consideramos apenas duas classes determinadas pelas vari\'aveis suscept\'iveis $(\bar{S}_V)$, mosquito hospedeiro que pode estar na fase aqu\'atica ou adulto; e infectantes $(\bar{I}_V)$, portador do v\'irus e capaz de transmiti-lo, satisfazendo \begin{equation} N_V = \bar{S}_V + \bar{I}_V\,. \label{v2} \end{equation} Sendo o ciclo de vida do mosquito curto\footnote{A dura\c c\~ao do ciclo de vida, em condi\c c\~oes favor\'aveis (oferta de alimentos e temperatura) \'e em m\'edia 30 dias, a partir da ovula\c c\~ao at\'e sua morte \cite{JACKSON}.}, n\~ao contemplamos a possibilidade de sua recupera\c{c}\~ao. %Supõe-se ainda que a popula\c{c}\~ao humana $N_H$ \'e constante, %determinada pela rela\c{c}\~ao entre nascimentos e mortes, dada por $\mu_H$. Supomos uma taxa de recrutamento fixa $A$ %para a popula\c{c}\~ao do vetor, e uma taxa de mortalidade per capita constante igual a $\mu_V$, de forma que %Na aus\^encia do elemento humano, descreve-se a din\^amica populacional do vetor atrav\'es da equa\c{c}\~ao diferencial %de primeira ordem $ \begin{equation} N'_V = A - \mu_V N_V \end{equation} com solu\c{c}\~ao tendendo exponencialmente para o equil\'ibrio em $A/\mu_V$. Denotamos por $b$ a quantidade diária de picadas realizadas por mosquito. Em princ\'\i pio esta quantidade pode variar por exemplo com as condições clim\'aticas, no entanto no modelo consideramos $b$ constante. Al\'em de humanos, o mosquito transmissor da doença pode realizar picadas em outros mamíferos. Definimos ent\~ao $m$ como a quantidade de diferentes hospedeiros alternativos, de forma que a probabilidade de um mosquito picar um humano em detrimento a outro mam\'\i fero dispon\'\i vel \'e dada por $N_H/(N_H+m)$. Portanto, as taxas de picadas por humano por unidade de tempo e de picadas por vetor por unidade de tempo s\~ao dadas respectivamente por \begin{equation} \frac{ b N_V }{ (N_H + m)}\,\,\,\mbox{ e }\,\,\,\, \frac { b N_H }{(N_H + m)}\,, \end{equation} sendo $N_H + m$ o total de hospedeiros disponíveis para o vetor. Contudo, o fato de um ser humano ser picado n\~ao determina necessariamente a sua infec\c{c}\~ao, de forma que consideramos ainda as probabilidades de transmiss\~ao da doença em humanos a partir do vetor infectado e em vetores a partir de humanos infectados respectivamente iguais a %\begin{equation} %\frac {\beta_H b}{N_H + m} \bar{I}_V\,\,\,\mbox{ e }\,\,\, \frac {\beta_V b}{N_H + m} \bar{I}_H\,\,. %\end{equation} $\beta_H$ e $\beta_V$. Coletando todas essas informações, e definindo ainda $\gamma_H$ como a taxa de recupera\c{c}\~ao ou imuniza\c{c}\~ao dos humanos, podemos escrever o seguinte sistema de equa\c{c}\~oes diferenciais ordin\'arias acopladas: \begin{eqnarray} \bar{S}_H' &=& \mu_H N_H - \frac {\beta_H b}{N_H + m} \bar{S}_H \bar{I}_V - \mu_H \bar{S}_H \,,\nonumber\\ \bar{I}_H' &=& \frac {\beta_H b}{N_H + m } \bar{S}_H \bar{I}_V - (\mu_H + \gamma_H) \bar{I}_H\,,\nonumber\\ \bar{R}_H' &=& \gamma_H \bar{I}_H - \mu_H \bar{R}_H\,,\nonumber\\ \bar{S}_V' &=& A - \frac {\beta_V b}{N_H + m} \bar{S}_V \bar{I}_H - \mu_V \bar{S}_V\,,\nonumber\\ \bar{I}_V' &=& \frac {\beta_V b }{N_H + m } \bar{S}_V \bar{I}_H - \mu_V \bar{I}_V\,. \label{SODE} \end{eqnarray} O sistema (\ref{SODE}) descreve a evolução dinâmica das populações definidas no espa\c{c}o de configura\c{c}\~oes ${\cal T}=(\bar{S}_H, \bar{I}_H, \bar{R}_H, \bar{S}_V, \bar{I}_V)$ respeitando o v\'inculo (\ref{v1}). Observe que o subespaço ${\cal V} \subset {\cal T}$ definido por $N_H = \bar{S}_H + \bar{I}_H + \bar {R}_H$ e $\bar{S}_V + \bar{I}_V = \frac{A}{\mu_V}$ \'e invariante por (\ref{SODE}), e ainda solução externas convergem para $\cal V$ no limite assintótico. \begin{comment} definem um subespa\c{c}o $\cal T$, sendo que qualquer solu\c{c}\~ao iniciada em $\cal T$ satisfaz as condições \begin{equation} \bar{S}_H'(t) + \bar{I}_H'(t) + \bar{R}_H'(t) = \bar{S}_V'(t) + \bar{I}_V'(t) = 0 \label{v3} \,. \end{equation} \end{comment} A partir das variáveis populacionais absolutas em (\ref{SODE}) definimos as populações relativas \begin{equation} S_H = \frac{\bar{S}_H}{N_H}, I_H = \frac{\bar{I}_H}{N_H}, R_H = \frac{\bar{R}_H}{N_H}, S_V = \frac{\bar{S}_V}{A/\mu_V}, I_V = \frac{\bar{I}_V}{A/\mu_V} \,. \end{equation} Considerando $R_H = 1 - S_H - I_H$ e $S_V = 1 - I_V$, podemos reduzir o sistema descrito em (\ref{SODE}) para o sistema de tr\^es equações diferenciais ordinárias não lineares nas vari\'aveis populacionais relativas %um sistema tridimensional de EDO (Equa\c{c}\~oes Diferenciais Ordin\'arias n\~ao lineares), dado por \begin{eqnarray} S'_H(t) &=& \mu_H (1 - S_H) - b \beta_H \frac {A/\mu_V}{N_H + m} S_H I_V \,,\nonumber\\ I'_H(t) &=& b \beta_H \frac {A/\mu_V}{N_H + m} S_H I_V - (\gamma_H + \mu_H) I_H \,,\nonumber\\ I'_V(t) &=& b \beta_V \frac {N_H}{N_H + m} (1 - I_V) I_H - \mu_V I_V\,, \label{sedo} \end{eqnarray} válido no limite assintótico $N_V\rightarrow A/\mu_V$. Note que a não linearidade tanto de (\ref{sedo}) quanto de (\ref{SODE}) decorre de termos que envolvem o produto de duas funções tais como $S_H I_V$ representando interações entre pares de setores populacionais. %A dedução de (\ref{sedo}) a partir de (\ref{SODE}) pode ser encontrada no Apêndice A. \newsec{Simulações e Resultados} Nesta seção apresentamos os resultados da integração numérica do sistema (\ref{sedo}) via método de Runge-Kutta de quarta ordem \cite{NRC} implementado em linguagem C. As faixas de variação dos parâmetros utilizadas, baseadas em \cite{esteva, NewtonReiter, yang2003, massad}, encontram-se listadas nas Tabelas \ref{Table:ParametrosSIR} e \ref{Table:ParametrosSIR2}. Realizamos simulações numéricas buscando descrever dados reais para populações de municípios da microrregião de Itapetinga, Bahia. O Município de Ita\-pe\-tin\-ga está localizado no sudoeste baiano, situado a 268 metros acima do nível do mar. É a 24ª cidade mais populosa do estado e, segundo o censo 2010, possui apro\-xi\-ma\-da\-men\-te $68$ mil habitantes \cite{IBGE}. O município ocupa ainda uma área de 1.627,462 $km^2$ sendo sua densidade demográfica de $41.95$ habitantes por $km^2$ \cite{IBGE}. Itapetinga é uma das cidades mais urbanizadas da Bahia, pois 97\% da população mora na área urbana e apenas 3\% na área rural \cite{IBGE}. A microrregião de Itapetinga - BA envolve, além da sede, os municípios de Itororó, Ibicuí, Iguaí, Itambé, Macarani, Maiquinique, Potiraguá, Itarantim, Fir\-mi\-no Alves e Caatiba com população total aproximada de $230$ mil habitantes \cite{IBGE}. \begin{table} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Parâmetro & Faixa Utilizada & Fonte\\ \hline $\beta_H$ & 0,75 & Newton e Reiter \cite{NewtonReiter}\\ \hline $\beta_V$ & 1 & Newton e Reiter \cite{NewtonReiter} \\ \hline $\gamma_H$ & 0,143 a 0,263 dia$^{-1}$ & Yang \cite{yang2003}/Massad \cite{massad}\\ \hline $\mu_V$ & 0,25 dia$^{-1}$ & Esteva e Vargas \cite{esteva}\\ \hline $\mu_H$ & $4,57X10^{-5}$ dia$^{-1}$ & Esteva e Vargas \cite{esteva}\\ \hline $b$ & 0,5 (dia.mosquito)$^{-1}$ & Esteva e Vargas \cite{esteva}\\ \hline\end{tabular} \end{center} \caption{Valores utilizados nos parâmetros da simulação numérica por outros autores.} \label{Table:ParametrosSIR} \end{table} \begin{table} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Parâmetro & Faixa Utilizada \\ \hline $\beta_H$ & 0,75 \\ \hline $\beta_V$ & 1 \\ \hline $\gamma_H$ & 0,143 a 0,3428 dia$^{-1}$ \\ \hline $\mu_V$ & 0,2 a 0,3 dia$^{-1}$ \\ \hline $\mu_H$ & $4,57X10^{-5}$ a $9,57X10^{-5}$ dia $^{-1}$ \\ \hline $b$ & 0,5 a 0,9 (dia.mosquito)$^{-1}$ \\ \hline\end{tabular} \end{center} \caption{Faixas de variação dos parâmetros utilizadas nas simulações numéricas desta pesquisa.} \label{Table:ParametrosSIR2} \end{table} Os gráficos a seguir foram plotados no Gnuplot, a partir de resultados da integração numérica realizada em linguagem C, buscando representar o número de Humanos Infectados $(I_H)$ em toda a microrregião e em alguns municípios específicos. Nestes mesmos gráficos plotamos os dados experimentais relativos à quantidade de casos de dengue registrados na 14ª Dires - Diretoria Regional de Saúde do Estado da Bahia - com sede em Itapetinga \cite{Dires}. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=0.7\textwidth]{regiao.eps}%{imagens/regiao} \caption[Simulação de humanos infectados na microrregião de Itapetinga-BA]{Simulação de humanos infectados na microrregião de Itapetinga-BA. Parâmetros: $A = 650.000$ mosquitos, $m = 30.000$ hospedeiros alternativos, $N_H = 225.530$ habitantes, $\mu_H = 9,57\times 10^{-5}$ dia$^{-1}$, $\mu_V = 0,22$ dia$^{-1}$, $\beta_H = 0,75$, $\beta_V = 1$, $\gamma_H = 0,3428$ dia$^{-1}$ e $b = 0,7$ (mosquito.dia)$^{-1}$. Condições iniciais: $S_{H0} = 0,0366369$, $I_{H0} = 8,52026\times 10^{-8}$, $I_{V0} = 1,70582\times 10^{-7}$.} \label{fig:regiao} \end{figure} Na Figura \ref{fig:regiao} apresentamos o resultado da simulação computacional para os va\-lo\-res de Humanos Infectados $(I_H)$ pela doença da dengue em toda microrregião de Itapetinga comparado aos valores de casos oficiais registrados na 14ª Dires. Nas Figuras \ref{fig:itapetinga}, \ref{fig:itororo} e \ref{fig:iguai} observamos os resultados da simulação computacional para os valores de Humanos Infectados $(I_H)$ pela doença da dengue nos municípios de Itapetinga, Itoror\'o e Iguaí novamente comparando com os valores de casos oficiais registrados na 14ª Dires. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=0.7\textwidth]{itapetinga.eps} \caption[Simulação de humanos infectados no município de Itapetinga-BA]{Simulação de humanos infectados no município de Itapetinga-BA. Parâmetros: $A = 166.000$ mosquitos, $m = 6.000$ hospedeiros alternativos, $N_H = 64.580$ habitantes, $\mu_H = 8,57\times 10^{-5}$ dia$^{-1}$, $\mu_V = 0,2$ dia$^{-1}$, $\beta_H = 0,75$, $\beta_V = 1$, $\gamma_H = 0,2428$ dia$^{-1}$ e $b = 0,9$ (mosquito.dia)$^{-1}$. Condições iniciais: $S_{H0} = 0$, $I_{H0} = 0$, $I_{V0} = 0,2$.} \label{fig:itapetinga} \end{figure} \begin{comment} Por fim, nas Figuras têm-se o resultado da simulação computacional para os valores de Humanos Infectados $(I_H)$ pela doença da dengue nos municípios de Itororó e Iguaí, também comparada com os valores de casos oficiais registrados na 14ª Dires. %Além dos parâmetros já definidos na Tabela \ref{Table:ParametrosSIR}, ajustou-se alguns parâmetros do modelo. Para Itororó e Iguaí teremos respectivamente: %População total $N_H = 19.914$ habitantes e $N_H = 25.705$ habitantes \cite{IBGE}, %número de hospedeiros alternativos $m = 4.000$ habitantes e $m = 2.000$ habitantes %e taxa de recrutamento do mosquito $A = 125.000$ vetores e $A = 45.000$ vetores. \end{comment} \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=0.7\textwidth]{itororo.eps} \caption[Simulação de humanos infectados no município de Itororó-BA]{Simulação de humanos infectados no município de Itororó-BA. Parâmetros: $A = 125.000$ mosquitos, $m = 4.000$ hospedeiros alternativos, $N_H = 19.914$ habitantes, $\mu_H = 5,57\times 10^{-5}$ dia$^{-1}$, $\mu_V = 0,2$ dia$^{-1}$, $\beta_H = 0,75$, $\beta_V = 1$, $\gamma_H = 0,5428$ dia$^{-1}$ e $b = 0,9$ (mosquito.dia)$^{-1}$. As condições iniciais são: $S_{H0} = 0$, $I_{H0} = 0$, $I_{V0} = 0,02$.} \label{fig:itororo} \end{figure} \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=0.7\textwidth]{iguai.eps} \caption[Simulação de humanos infectados no município de Iguaí-BA]{Simulação de humanos infectados no município de Iguaí-BA. Parâmetros utilizados: $A = 45.000$ mosquitos, $m = 2.000$ hospedeiros alternativos, $N_H = 25.705$ habitantes, $\mu_H = 6,57\times 10^{-5}$ dia$^{-1}$, $\mu_V = 0,2$ dia$^{-1}$, $\beta_H = 0,75$, $\beta_V = 1$, $\gamma_H = 0,2428$ dia$^{-1}$ e $b = 0,9$ (mosquito.dia)$^{-1}$. As condições iniciais são: $S_{H0} = 0,0121955$, $I_{H0} = 1,89577X10^{-8}$, $I_{V0} = 7,38102X10^{-8}$.} \label{fig:iguai} \end{figure} Observamos pelos gráficos apresentados que o comportamento epidemiológico qualitativo dos dados é evidentemente capturado pelo modelo. Notamos também que quanto maior a população total do município ou microrregião, melhor o acordo entre o modelo e os dados experimentais. Isso se dá devido ao fato de que quanto menor a população de um município mais representativa a incidência ou não de um único caso e, naturalmente, o modelo de equações diferenciais (\ref{sedo}) pressupõe variáveis populacionais contínuas, gerando resultados melhores para $N_H$ grande. \begin{comment}Vale lembrar que os dados experimentais são os registrados pela 14ª Dires, o que evidentemente pode não representar a realidade dos fatos, haja visto que está sujeito a não notificação de algum caso e, consequentemente, o mesmo não esteja representado na amostra, gerando diferenças consideráveis. \end{comment} Ressaltamos ainda que o modelo (\ref{sedo}) não leva em conta fatores migratórios, variações nas taxas de mortalidade e natalidade, variações no parâmetros devidas a efeitos climáticos de temperatura e pluviosidade etc. Percebemos nos gráficos que apesar de não termos introduzido efeitos sazonais {\it ad hoc} no modelo, os mesmos emergem naturalmente, corroborando uma maior incidência da doença do meio para o final do verão. Essa época é mais propícia à disseminação da dengue por serem os ovos do {\it Aedes aegypti} depositados pela fêmea em reservatórios de água e esses, por sua vez, se tornam mais abundantes devido às chuvas rápidas de verão. \begin{comment} Outros fatores que justificam as diferenças entre os dados simulados e os dados reais apresentados nos gráficos são a população e o clima. Estes parâmetros estão sendo considerados no modelo como constantes. Sabe-se que fatores migratórios, taxas de natalidade, taxas de mortalidade, entre outros, tornam variáveis o quantitativo populacional, assim como para o clima, percebem-se as diferenças registradas de pluviosidade e temperatura a cada ano. Percebe-se nos gráficos o efeito da sazonalidade da dengue. Isso se dá, devido à maior incidência da doença do meio para o final do verão, época propícia, pois os ovos do \textit{Aedes aegypti} são depositados pela fêmea em reservatórios de água, abundantes nesta época do ano, devido às chuvas rápidas de verão. E também devido às condições ideais de temperatura e umidade intensificando a atividade hematófaga do mosquito em relação aos mamíferos e, em especial, aos seres humanos. \end{comment} Além dos humanos infectados $(I_H)$, é possível analisar a população de vetores infectados $(I_V)$ responsáveis pela quantidade de casos simulados para determinado período, porém, não é possível compará-los com dados reais, devido a inexistência dos mesmos e a dificuldade em mensurá-los. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=0.7\textwidth]{regiaoIV.eps} \caption[Simulação de vetores infectados na microrregião de Itapetinga-BA]{Simulação de vetores infectados na microrregião de Itapetinga-BA, utilizando os mesmos parâmetros e condições iniciais definidos na Figura \ref{fig:regiao}.} \label{fig:regiaoIV} \end{figure} Verificamos na Figura \ref{fig:regiaoIV} o mesmo efeito de sazonalidade para a infecção dos mosquitos. Estes dados foram obtidos a partir da simulação computacional realizada com os mesmos parâmetros da Figura \ref{fig:regiao}. \begin{comment} Apresentamos por fim na Figura \ref{fig:regiaoSH} os resultados da simulação para a população de humanos susceptíveis $(S_H)$ para a microrregião de Itapetinga, utilizando os mesmos parâmetros da Figura \ref{fig:regiao}. \begin{figure}[htbp] \centering \includegraphics[width=0.7\textwidth]{regiaoSH.eps} \caption[Simulação de humanos susceptíveis na microrregião de Itapetinga-BA]{Simulação de humanos susceptíveis na microrregião de Itapetinga-BA, utilizando os mesmos parâmetros e condições iniciais definidos na Figura \ref{fig:regiao}.} \label{fig:regiaoSH} \end{figure} \end{comment} %O uso de modelos matemáticos no processo de controle da doença aumenta a proximidade entre a teoria e a prática, tornando evidente a necessidade de desenvolvimento de tecnologias para controle de epidemias em acordo com os mesmos. \newsec{Pontos de Equilíbrio do Modelo} Nesta seção analisamos os pontos de equilíbrio do modelo (\ref{sedo}). Considerando as faixas de variação dos setores das populações, definimos a região de interesse biológico % condições biológicas do ambiente simulado. Consideramos que a região tem uma população relativa de humanos susceptíveis $(S_H)$ e infectados $(I_H)$ maior %que zero e uma população relativa de vetores infectados $(I_V)$ entre 0 e 1. Pode-se extrair: \begin{equation} \Omega = \{(S_H,I_H,I_V): 0 \leq I_V \leq 1 ; 0 \leq S_H; 0 \leq I_H; S_H + I_H \leq 1\}. \end{equation} Naturalmente o modelo (\ref{sedo}) tem sentido representativo do fen\^omeno apenas na região $\Omega$. Igualando as derivadas temporais em (\ref{sedo}) a zero, obtemos dois pontos de equilíbrio %do modelo $E_1=(1,0,0)$ e $E_2=(S^*_H, I^*_H, I^*_V)$ %\cite{esteva} com \begin{comment} Pode-se identificar um ponto de equilíbrio trivial no modelo, referente à situação de uma população completamente saudável. Para este caso tería-se uma população com 100\% de humanos susceptíveis $S^*_H=1$, nenhum habitante da população de humanos infectado $I^*_H=0$ e nenhum vetor infectado $I^*_V=0$. Substituindo estes valores em (\ref{sedo}), tería-se uma identidade com todas as equações resultando em zero. Assim, o primeiro ponto de equilíbrio do modelo $E_1=(1, 0, 0)$. $E_1$ é o ponto de equilíbrio da população livre da doença. Existe um segundo ponto de equilíbrio $E_2=(S^*_H, I^*_H, I^*_V)$ que pode ser calculado como \cite{esteva}: \end{comment} \begin{equation} S^*_H = \frac{\beta + M}{\beta + MR_0}\,,\,\, I^*_H = \frac{R_0 - 1}{\beta + MR_0}\, \mbox{ e }\,I^*_V = \frac{\beta(R_0 - 1)}{R_0(\beta + M)} \end{equation} onde definimos as combinações lineares de parâmetros \begin{equation} \beta = \frac{b \beta_V N_H}{\mu_V (N_H + m)}\,,\,\, M = \frac{\gamma_H + \mu_H}{\mu_H} \,, \label{betaeM} \end{equation} e \begin{equation} R_0 = \frac{b^2 \beta _H \beta _V N_H A/\mu_V}{(N_H + m)^2 \mu_V (\gamma_H + \mu_H)} \label{R0} \,. \end{equation} O par\^ametro $R_0$ acima definido é crucial para a an\'alise da estabilidade dos pontos de equilíbrio do modelo. De fato $\tilde{R_0}\equiv \sqrt{R_0}$ representa o número básico de casos infecciosos secundários gerados por um caso primário em uma população totalmente susceptível e suficientemente grande. \begin{comment} O parâmetro $\tilde{R_0}$ é um limiar que determina o comportamento dinâmico global do modelo. Se $\tilde{R_0} < 1$, a doença é estável, a doença vai dissiminar. Mas se $\tilde{R_0} > 1$ existe um equilíbrio endêmico, implicando que a doença será sempre endêmica acima do valor limiar. Este limiar ainda é utilizado para discutir estratégias de controle \cite{esteva}. \end{comment} Note que, como todos os par\^ametros do mo\-de\-lo s\~ao positivos, se $R_0<1$ o segundo ponto de equilíbrio encontra-se fora da região $\Omega$ e temos apenas um ponto de equilíbrio válido. Pode-se mostrar que para $R_0\leq 1$, $E_1$ constitui um ponto de equilíbrio assintoticamente est\'avel, enquanto para $R_0>1$, $E_1$ torna-se instável e $E_2$ é estável. Uma análise cuidadosa da estabilidade dos pontos $E_1$ e $E_2$, justificando as afirmações acima, pode ser encontrada em \cite{esteva}. Considerando os valores numéricos dos parâmetros utilizados em nossas simulações para a microrregião de Itapetinga, apresentamos na Tabela \ref{Table:R0} os valores de $R_0$ e do segundo ponto de equilíbrio $E_2$. Como todos os valores de $R_0$ s\~ao maiores que um, o modelo prevê a situação de equilíbrio endêmico para todos os casos. % a fim de determinar a estabilidade do modelo representado na Figura \ref{fig:regiao}, o valor encontrado de $\tilde{R_0}$ para este caso foi aproximadamente $7,05$. Como este valor é maior que o limiar, determina-se que na microrregião existe um equilíbrio endêmico, implicando que a doença será sempre endêmica. O ponto de equilíbrio endêmico calculado para esta microrregião é $E_2=(0.02130, 0.000273, 0.000767)$. %O valor de $\tilde{R_0}$ e $E_2$ para alguns municípios da microrregião encontram se na Tabela \ref{Table:R0}. \begin{table} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Município & $R_0$ & ${\widetilde{R}_0}$ & $E_2=(S^*_H, I^*_H, I^*_V)$ \\ \hline Itapetinga & 134,563 & 11,600 &(0.007442, 0.000350, 0.00144)\\ \hline Iguaí & 94,239 & 9,707 &(0.010623, 0.000268, 0.001116)\\ \hline Itororó & 121,777 & 11,035 &(0.008215, 0.000102, 0.000381)\\ \hline Itambé & 125,791 & 11,215 &(0.007954, 0.000147, 0.0000609)\\ \hline \end{tabular} \end{center} \caption{Valor de $\tilde{R_0}$ para os municípios da microrregião} \label{Table:R0} \end{table} %Conforme a Tabela \ref{Table:R0}, encontramos a relação $\tilde{R_0} > 1$ para os municípios simulados, caracterizando a microrregião em equilíbrio endêmico. \newsec{Discussão Final} Efetuamos a simulação numérica do modelo de equações diferenciais (\ref{sedo}) originalmente proposto por \cite{esteva} para a disseminação da dengue, confrontando os resultados com dados reais para uma microregião no estado da Bahia. Especificamente aplicamos o método de Runge-Kutta de quarta ordem para a integração do sistema. O comportamento qualitativo global dos dados é descrito satisfatoriamente pelo mo\-de\-lo. Em particular, obtivemos aspectos de sazonalidade característicos da transmissão de dengue, com aumento da incidência de casos no verão. No entanto o mo\-de\-lo possui baixo poder preditivo local. Naturalmente a transmissão de dengue não é um fenômeno biológico simples de ser matematizado. O modelo contém uma quantidade significativa de parâmetros e não con\-si\-de\-ra, por exemplo, fatores migratórios, variações climáticas de temperatura e consequentemente de parâmetros, variações em taxas de natalidade e mortalidade etc. Possíveis generalizações para o modelo encontram-se atualmente sob análise com vistas a melhora de acordo entre os dados reais o os previstos, assim como a expansão da região geográfica de estudo considerada. \begin{comment} Neste trabalho, desenvolvemos o estudo de um modelo matemático SIR baseado em equações diferenciais para descrever a evolução das populações envolvidas na interrelação entre mosquitos \textit{Aedes aegypti} com a presença do vírus da dengue e os seres humanos. Descreveu-se o modelo matemático especificando cada compartimento das populações bem como os seus vínculos e correlações. Foi implementado um programa em linguagem de programação C que possibilitou a simulação computacional das populações de humanos e vetores da microrregião de Itapetinga-BA. Para a resolução numérica de equações diferenciais, utilizou-se o método de Runge-Kutta de 4ª ordem. A utilização deste método permitiu aproximar os resultados das simulações com os valores reais da população. Conseguiu-se descrever a evolução das populações de humanos e mosquitos diante do espalhamento do seu vírus entre os espécimes humanos, objetivando estudar o modelo e comparar os resultados com situações realísticas. Um fator dificultador nos estudos foi o grande número de parâmetros do modelo. Porém, dentre estes parâmetros, alguns estão razoavelmente bem estabelecidos na literatura. Sendo a dengue uma doença muito expressiva no verão, a sazonalidade apresentada mostra picos de aumento de população do mosquito e maior incidência de infecção no auge da estação. Com relação a estabilidade identificamos que a microrregião encontra-se em equilíbrio endêmico. Efetuou-se uma simulação computacional de evolução temporal para um modelo SIR generalizado, comparando os resultados com dados reais de municípios da região do sudoeste da Bahia, obtendo bom acordo qualitativo porém, com algumas diferenças, que poderão ser minimizadas em possíveis modificações no modelo com vistas à inclusão de fatores migratórios, populações totais e temperatura variáveis. \end{comment} \begin{thebibliography}{99} \bibitem{massad} M. J. Cox, K. Elwin, E. Massad, R. S. Azevedo, Age-specific seroprevalence to an immunodominant Cryptosporidium sporozoite antigen in a Brazilian population. Epidemiology and Infection, Vol. 133, No. 5, pp. 951-956, 2005. \bibitem{Dires} DIRES - 14ª Diretoria Regional de Saúde da Bahia, Mapa da Dengue na microrregião de Itapetinga-Ba. Itapetinga-BA, 2012. Não Publicado. \bibitem{IBGE} IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, Boletim Censo 2010. Disponível em http://www.censo2010.ibge.gov.br. Acesso em 18 de abril de 2013. \bibitem{JACKSON} Jackson Andrade Ferreira, ``Um Modelo Multiescalas de Autômatos Celulares para Pandemia de Dengue'', Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de Viçosa, Viçosa, MG, 2009. \bibitem{yang} H. M. Yang, C. P. Ferreira, Assessing the effects of vector control on dengue transmission, Elsevier, Applied Mathematics and Computation, No. 198, pp. 401 - 413, 2008. \bibitem{yang2003} H. M. Yang, C. P. Ferreira, Estudo da transmissão da dengue entre os indiv\'iduos em interação com a população de mosquitos Aedes aegypti. TEMA - Tend. Mat. Apl. Comput., Vol. 4, No.3, pp. 323-332, 2003. \bibitem{NRC} W. H. Press, S. A. Telkolsky, W. T. Wetterling, B. P. Flannery, ``Numerical Recipes in C - The Art os Scientific Computing''. Cambridge University Press. Second Edition. New York, 1992. \bibitem{SIRClassico} W.O. Kermack, A.G. Mckendrick, Contributions to the mathematical theory of epidemics, The royal society, No. 141, 1933. \bibitem{Muldowney} Y. Li, J. S. Muldowney, Global stability for the SEIR model in epidemiology, Elsevier, Mathematical Biosciences, No. 125, pp. 155-164, 1995. \bibitem{NewtonReiter} E. A. Newton, P. Reiter, A model of the transmission of dengue fever with evaluation of the impact of ultra-low volume (ULV) insecticide applications on dengue epidemics, American Journal of Tropical Medicine and Hygiene, No. 47, pp. 709-20, 1992. \bibitem{MS} Ministério da Saúde, Informe Epidemiológico da Dengue, Janeiro à Dezembro de 2008. Cad. Saúde Pública, (2008). \bibitem{OPS} OPAS - Organização Pan-Americana de Saúde, Alerta epidemiológico: Dengue nas Américas. Disponível em http://new.paho.org. Acesso em 21 de abril de 2013. \bibitem{SVS} SVS - Secretaria de Vigilância em Saúde, Dengue na Região Norte cai 76\% no primeiro bimestre. Disponível em http://portalsaude.saude.gov.br. Acesso em 18 de abril de 2013. \bibitem{SVS2} SVS - Secretaria de Vigilância em Saúde, Nota T\'ecnica Nº 3 (01/2011). Disponível em http://portalsaude.saude.gov.br. Acesso em 16 de abril de 2013. \bibitem{PINHO} C. P. Ferreira, L. Esteva, F. R. Barreto, Suani T. R. Pinho, V. C. Morato e Silva, M. G. L. Teixeira, Modelling the dynamics of dengue real epidemics, Philosophical Transactions - Royal Society, Mathematical, Physical and Engineering Sciences, No. 368, pp. 5679 - 5693, 2010. \bibitem{esteva} L. Esteva, C. Vargas, Analysis of a dengue disease transmission model, Elsevier, Mathematical Biosciences, No. 150, pp. 131-151, 1998. \end{thebibliography} \end{document}