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\begin{document}

%********************************************************
\title
    {Simulação Numérica de Modelo de Transmissão de Dengue
em Microregião no Sudoeste
da Bahia}

\author
    {D. A. SANTOS%
     \thanks{djan.santos@ifba.edu.br}\,,
     Programa de Pós-Graduação em Ciências Ambientais, PPGCA,
     UESB - Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia,
     Praça Primavera, 40, Bairro Primavera, 45700-000 Itapetinga, BA, Brasil.\\
     Colegiado de Sistemas de Informação, CSI,
     IFBA - Instituto Federal da Bahia, 
     Av. Amazonas, 3150, Bairro Zabelê, 45030-220 Vitória da Conquista, BA, Brasil.
     \\ \\
     R. THIBES%
     \thanks{thibes@uesb.edu.br}\,,
     Departamento de Estudos Básicos e Instrumentais, DEBI,
     UESB - Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia,
     Praça Primavera, 40, Bairro Primavera, 45700-000 Itapetinga, BA, Brasil.}

\criartitulo

\runningheads {Santos e Thibes}{}

\begin{abstract}
{\bf Resumo}. Considerando um sistema de equações diferenciais envolvendo populações de
duas espécies interagentes, analisamos um modelo contínuo SIR de transmissão de dengue.
Descrevemos
o comportamento de humanos susceptíveis, humanos infectados
e mosquitos infectados no limite assintótico do modelo.
Efetuamos simulações numéricas com parâmetros ajustados à microrregião do sudoeste da
Bahia no período de junho de 2008 a maio de 2012, comparando com dados reais. 
Discutimos os pontos de equilíbrio do modelo no contexto da microregião estudada.

{\bf Palavras-chave}. Dengue, din\^amica populacional, equações diferenciais,
modelo SIR.

{\bf Abstract}. Considering a system of differential equations involving populations of two
interacting species, we study a continuous SIR model of dengue transmission.
We describe the behavior of susceptible humans, infected humans and infected mosquitoes in
the asymptotic limit of the model. We performe numerical simulations with parameters adjusted
to the microrregion of southwestern Bahia from June 2008 to May 2012, comparing with true data.
We discuss the equilibrium points of the model in the context of the studied microregion.

{\bf Keywords}. Dengue, populational dynamics, differential equations, SIR model.
\end{abstract}


%********************************************************
\newsec{Introdução}
A dengue é considerada um dos maiores problemas de sa\'ude p\'ublica no mundo.  O v\'irus \'e transmitido pelo mosquito
{\it Aedes aegypti}, origin\'ario da \'Africa, onde se domesticou e adaptou ao ambiente urbano.
Nas Am\'ericas \'e o maior transmissor da doen\c{c}a com import\^ancia epidemiol\'ogica. 
Desde a metade da d\'ecada de 90, os pa\'ises das Am\'ericas Central e do Sul passaram a contribuir com muito mais da metade dos casos notificados da doen\c{c}a no mundo. Em 2010 foram detectados 1,69 milh\~oes de casos de dengue em toda a Am\'erica Latina, acarretando 1185 óbitos, comprovando a caracter\'istica end\^emica da doen\c{c}a \cite {OPS}. Entre os pa\'ises que mais registraram surtos estiveram Brasil, Col\^ombia, Guatemala, Honduras, Nicar\'agua, M\'exico, Porto Rico, Rep\'ublica Dominicana, Venezuela, al\'em de pa\'ises e territ\'orios do Caribe \cite {OPS}. Entre 1 de janeiro e 3 de mar\c{c}o de 2012, foram registrados 76.906 casos da doen\c{c}a no Brasil \cite {SVS}.

Estudos recentes sobre a dis\-se\-mi\-na\-ção da doença indicam que fatores ambientais como temperatura e precipitação
pluviométrica, aliados a potenciais criadouros (recipientes que podem acumular água) e à
disponibilidade de sangue (em geral de humanos), são de grande importância na atividade do mosquito
e consequente dis\-se\-mi\-na\-ção da doença \cite{JACKSON}. A transmissão se
dá pela picada da fêmea do mosquito {\it Aedes aegypti} no homem, pois ela precisa
do sangue humano para maturação de seus ovos e acaba introduzindo o vírus pela sua saliva.

A primeira epidemia de dengue identificada no Brasil aconteceu no estado de Roraima, nos idos de 1982,
possivelmente oriunda de países que fazem fronteira com o país naquela região. O Brasil é um dos países mais atingidos pela dengue, a cada ano os casos se multiplicam. Um 
exemplo concreto foi a epidemia de 2008 que aconteceu no Rio de Janeiro e em diversos municípios daquele estado: foram notificados mais de 240 mil casos da DF (\textit{Dengue Fever} - Dengue Clássica),
mais de 11 mil hospitalizações, 1.364 casos de DHF (\textit{Dengue Hemorrhagic Fever} - Dengue Hemorrágica), 169 óbitos confirmados e mais de 150 casos investigados e sem conclusão \cite{MS}.

Atualmente, o mosquito {\it Aedes aegypti} encontra-se disseminado por praticamente todo o territ\'orio nacional com tr\^es dentre os quatro sorotipos existentes
do v\'irus (DENV-1, DENV-2 e DENV-3) ativos no Brasil\footnote{Alguns casos isolados já foram registrados do DENV-4 no Brasil \cite{SVS2}.} \cite{JACKSON}. O quadro epidemiol\'ogico
tem se caracterizado por epidemias recorrentes, mais vis\'iveis nos grandes centros urbanos. 
As a\c{c}\~oes de controle existentes, al\'em de custosas, t\^em se mostrado ineficientes, principalmente devido \`a explos\~ao populacional desorganizada e às m\'as condi\c{c}\~oes de vida da maioria da popula\c{c}\~ao em pa\'ises como o Brasil. 

Neste cen\'ario, visando entender os mecanismos de transmiss\~ao da doen\c{c}a, bem como
compreender
e do\-mi\-nar seus processos end\^emicos,
utilizamos um modelo matemático de equações diferenciais ordinárias,
baseado no bem conhecido modelo SIR, proposto originalmente por Kermack e McKendrick em 1927 \cite{SIRClassico}.
Na literatura recente podemos encontrar propostas de modelos similares para o problema
\cite{JACKSON, Muldowney, esteva, yang, PINHO}.
Discutimos o controle da popula\c{c}\~ao vetorial
atrav\'es da determina\c{c}\~ao de condi\c{c}\~oes de limiar para a exist\^encia ou n\~ao de pontos de equil\'ibrio est\'aveis ou inst\'aveis com vistas a caracterizar situa\c{c}\~oes de epidemia.
Aplicamos o modelo a uma microrregi\~ao brasileira com alto grau de incid\^encia da doen\c{c}a,
comparando dados reais com a previs\~ao do modelo.

\newsec{O Modelo Matemático}

A transmiss\~ao do v\'irus da dengue se d\'a pela picada de um mosquito infectado a um ser humano
exposto \`a doen\c{c}a.  Considerando um modelo cont\'\i nuo para a evolu\c c\~ao din\^amica
das popula\c c\~oes humana e de mosquitos, essa picada ocorre atrav\'es da intera\c c\~ao entre
setores das correspondentes popula\c c\~oes, caracterizada por produtos de fun\c c\~oes
diferenci\'aveis.

Seguimos aqui o modelo e notação propostos
por Steva e Vargas \cite {esteva} objetivando
descrever a transmiss\~ao da doen\c{c}a para um dos quatro sorotipos poss\'iveis da dengue.
Subdividimos a popula\c{c}\~ao humana da regi\~ao de estudo $N_H$
em três
setores distintos: suscept\'iveis $(\bar{S}_H)$, seres humanos n\~ao infectados pela doen\c{c}a;
infectados $(\bar{I}_H)$, humanos portadores do v\'irus, capazes de transmiti-lo aos mosquitos;
e removidos $(\bar{R}_H)$,
indiv\'iduos que contra\'iram o v\'irus e se tornaram imunes \`aquele sorotipo.
Naturalmente, temos a relação de consist\^encia
%Portanto temos o v\'inculo
\begin{equation}
N_H = \bar{S}_H + \bar{I}_H + \bar{R}_H \,.
\label{v1}
\end{equation}
%com $N_H$ constante.
Consideramos uma taxa de natalidade per capita para a popula\c c\~ao humana
$\mu_H$ igual \`a de mortalidade, de maneira que a popula\c{c}\~ao total $N_H$ permanece
constante.

Em rela\c{c}\~ao \`a popula\c{c}\~ao de vetores transmissores $N_V$, nesse caso os mosquitos,
consideramos apenas duas classes determinadas pelas vari\'aveis suscept\'iveis $(\bar{S}_V)$,
mosquito hospedeiro que pode estar na fase aqu\'atica ou adulto; e
infectantes $(\bar{I}_V)$, portador do v\'irus e capaz de transmiti-lo,
satisfazendo
\begin{equation}
N_V  = \bar{S}_V + \bar{I}_V\,.
\label{v2}
\end{equation}
Sendo o ciclo de vida do mosquito curto\footnote{A dura\c c\~ao do ciclo de vida, em condi\c c\~oes favor\'aveis (oferta de alimentos e temperatura) \'e em m\'edia 30 dias, a partir da ovula\c c\~ao at\'e sua morte \cite{JACKSON}.},
n\~ao contemplamos a possibilidade de sua recupera\c{c}\~ao.
%Supõe-se ainda que a popula\c{c}\~ao humana $N_H$ \'e constante,
%determinada pela rela\c{c}\~ao entre nascimentos e mortes, dada por $\mu_H$.
Supomos uma taxa de recrutamento fixa $A$
%para a popula\c{c}\~ao do vetor,
e uma taxa de mortalidade per capita constante igual a $\mu_V$, de forma que
%Na aus\^encia do elemento humano, descreve-se a din\^amica populacional do vetor atrav\'es da equa\c{c}\~ao diferencial
%de primeira ordem $
\begin{equation}
N'_V = A - \mu_V N_V
\end{equation}
com solu\c{c}\~ao tendendo exponencialmente para o equil\'ibrio em $A/\mu_V$.

Denotamos por $b$ a quantidade diária de picadas realizadas por mosquito.
Em princ\'\i pio esta quantidade pode variar
por exemplo com as condições clim\'aticas, no entanto no modelo
consideramos $b$ constante.
Al\'em de humanos, o mosquito transmissor da doença pode realizar picadas em outros mamíferos.
Definimos ent\~ao $m$ como a quantidade de diferentes hospedeiros alternativos,
de forma que
a probabilidade de um mosquito picar um humano em detrimento a outro mam\'\i fero
dispon\'\i vel \'e dada por $N_H/(N_H+m)$.
Portanto, as taxas de picadas por humano por unidade de tempo e de picadas
por vetor por unidade de tempo s\~ao dadas
respectivamente por
\begin{equation}
\frac{ b N_V }{ (N_H + m)}\,\,\,\mbox{ e }\,\,\,\, 
\frac { b N_H }{(N_H + m)}\,,
\end{equation}
sendo $N_H + m$ o total de hospedeiros
disponíveis para o vetor.
Contudo,
o fato de um ser humano ser picado n\~ao determina necessariamente
a sua infec\c{c}\~ao, de forma que consideramos ainda
as probabilidades de transmiss\~ao da doença em humanos a partir do vetor infectado e
em vetores a partir de humanos infectados respectivamente iguais a 
%\begin{equation}
%\frac {\beta_H b}{N_H + m} \bar{I}_V\,\,\,\mbox{ e }\,\,\, \frac {\beta_V b}{N_H + m} \bar{I}_H\,\,. 
%\end{equation}
$\beta_H$ e $\beta_V$.

Coletando todas essas informações, e definindo ainda $\gamma_H$ como a taxa de recupera\c{c}\~ao
ou imuniza\c{c}\~ao dos humanos, podemos escrever o 
seguinte sistema de equa\c{c}\~oes diferenciais ordin\'arias
acopladas:
\begin{eqnarray}
\bar{S}_H' &=& \mu_H N_H - \frac {\beta_H b}{N_H + m} \bar{S}_H \bar{I}_V - \mu_H \bar{S}_H \,,\nonumber\\
\bar{I}_H' &=& \frac {\beta_H b}{N_H + m } \bar{S}_H \bar{I}_V - (\mu_H + \gamma_H) \bar{I}_H\,,\nonumber\\
\bar{R}_H' &=& \gamma_H \bar{I}_H - \mu_H \bar{R}_H\,,\nonumber\\
\bar{S}_V' &=& A - \frac {\beta_V b}{N_H + m} \bar{S}_V \bar{I}_H - \mu_V \bar{S}_V\,,\nonumber\\
\bar{I}_V' &=& \frac {\beta_V b }{N_H + m } \bar{S}_V \bar{I}_H - \mu_V \bar{I}_V\,.
\label{SODE}
\end{eqnarray}
O sistema (\ref{SODE})
descreve a evolução dinâmica das populações definidas
no espa\c{c}o de configura\c{c}\~oes ${\cal T}=(\bar{S}_H, \bar{I}_H, \bar{R}_H, \bar{S}_V, \bar{I}_V)$
respeitando o v\'inculo (\ref{v1}).
Observe que o subespaço ${\cal V} \subset {\cal T}$
definido por
$N_H = \bar{S}_H + \bar{I}_H + \bar {R}_H$  e $\bar{S}_V + \bar{I}_V = \frac{A}{\mu_V}$
\'e invariante por (\ref{SODE}), e ainda solução externas convergem
para $\cal V$ no limite assintótico.

\begin{comment}
definem um subespa\c{c}o
$\cal T$, sendo que qualquer solu\c{c}\~ao iniciada em $\cal T$ satisfaz as condições 
\begin{equation}
\bar{S}_H'(t) + \bar{I}_H'(t) + \bar{R}_H'(t) = \bar{S}_V'(t) + \bar{I}_V'(t) = 0
\label{v3}
\,.
\end{equation}
\end{comment}

A partir das variáveis populacionais absolutas em (\ref{SODE}) definimos as populações relativas
\begin{equation}
S_H = \frac{\bar{S}_H}{N_H}, I_H = \frac{\bar{I}_H}{N_H}, R_H = \frac{\bar{R}_H}{N_H}, S_V = \frac{\bar{S}_V}{A/\mu_V}, I_V = \frac{\bar{I}_V}{A/\mu_V} \,.
\end{equation}
Considerando $R_H = 1 - S_H - I_H$ e  $S_V = 1 - I_V$, podemos reduzir
o sistema descrito em (\ref{SODE}) para
o sistema de tr\^es equações diferenciais ordinárias não lineares
nas vari\'aveis populacionais relativas
%um sistema tridimensional de EDO (Equa\c{c}\~oes Diferenciais Ordin\'arias n\~ao lineares), dado por
\begin{eqnarray}
S'_H(t) &=& \mu_H (1 - S_H) - b \beta_H \frac {A/\mu_V}{N_H + m} S_H I_V \,,\nonumber\\
I'_H(t) &=& b \beta_H \frac {A/\mu_V}{N_H + m} S_H I_V - (\gamma_H + \mu_H) I_H \,,\nonumber\\
I'_V(t) &=& b \beta_V \frac {N_H}{N_H + m} (1 - I_V) I_H - \mu_V I_V\,,
\label{sedo}
\end{eqnarray}
válido no limite assintótico $N_V\rightarrow A/\mu_V$.
Note que a não linearidade tanto de (\ref{sedo}) quanto de (\ref{SODE}) decorre
de termos que envolvem o produto de duas funções tais como $S_H I_V$ representando
interações entre pares de setores populacionais.

%A dedução de (\ref{sedo}) a partir de (\ref{SODE}) pode ser encontrada no Apêndice A.

\newsec{Simulações e Resultados}
Nesta seção apresentamos os resultados da
integração numérica do sistema (\ref{sedo}) via método
de Runge-Kutta de quarta ordem \cite{NRC}
implementado em linguagem C.
As faixas de variação dos parâmetros utilizadas, baseadas em \cite{esteva, NewtonReiter,
yang2003, massad}, encontram-se
listadas
nas Tabelas \ref{Table:ParametrosSIR} e \ref{Table:ParametrosSIR2}.

Realizamos simulações numéricas
buscando descrever dados reais
para populações de municípios da microrregião de Itapetinga, Bahia.
O Município de Ita\-pe\-tin\-ga está localizado no sudoeste baiano, situado
a 268 metros acima do nível do mar.
É a 24ª cidade mais populosa do estado e, segundo o censo 2010, possui
apro\-xi\-ma\-da\-men\-te $68$ mil habitantes \cite{IBGE}.
O município ocupa ainda uma área de 1.627,462 $km^2$ sendo sua densidade demográfica de
$41.95$ habitantes por $km^2$ \cite{IBGE}.
Itapetinga é uma das cidades mais urbanizadas da Bahia, pois 97\% da população mora na área urbana e apenas 3\% na área rural \cite{IBGE}.
A microrregião de Itapetinga - BA envolve, além da sede, os municípios de Itororó, Ibicuí, Iguaí, Itambé, Macarani, Maiquinique, Potiraguá, Itarantim,
Fir\-mi\-no Alves e Caatiba com população total
aproximada de $230$ mil habitantes \cite{IBGE}.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
 Parâmetro & Faixa Utilizada & Fonte\\
\hline
$\beta_H$ & 0,75 & Newton e Reiter \cite{NewtonReiter}\\ 
\hline
$\beta_V$ & 1 & Newton e Reiter \cite{NewtonReiter} \\
\hline
$\gamma_H$ & 0,143 a 0,263 dia$^{-1}$ & Yang \cite{yang2003}/Massad \cite{massad}\\
\hline
$\mu_V$ & 0,25 dia$^{-1}$ & Esteva e Vargas \cite{esteva}\\
\hline
$\mu_H$ & $4,57X10^{-5}$ dia$^{-1}$ & Esteva e Vargas \cite{esteva}\\
\hline
$b$ & 0,5 (dia.mosquito)$^{-1}$ & Esteva e Vargas \cite{esteva}\\
\hline\end{tabular}
\end{center}
\caption{Valores utilizados nos parâmetros da simulação numérica por outros autores.}
\label{Table:ParametrosSIR}
\end{table}

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Parâmetro & Faixa Utilizada \\
\hline
$\beta_H$ & 0,75 \\ 
\hline
$\beta_V$ & 1 \\
\hline
$\gamma_H$ & 0,143 a 0,3428 dia$^{-1}$ \\
\hline
$\mu_V$ & 0,2 a 0,3 dia$^{-1}$ \\
\hline
$\mu_H$ & $4,57X10^{-5}$ a $9,57X10^{-5}$ dia $^{-1}$ \\
\hline
$b$ & 0,5 a 0,9 (dia.mosquito)$^{-1}$ \\
\hline\end{tabular}
\end{center}
\caption{Faixas de variação dos parâmetros utilizadas nas simulações numéricas desta pesquisa.}
\label{Table:ParametrosSIR2}
\end{table}

Os gráficos a seguir foram plotados no Gnuplot, a partir de resultados da
integração
numérica realizada em linguagem C, buscando representar o número de Humanos Infectados $(I_H)$ em toda a microrregião e em alguns municípios específicos. Nestes mesmos gráficos plotamos os dados experimentais relativos à quantidade
de casos de dengue registrados na 14ª Dires - Diretoria Regional de Saúde do Estado da Bahia - com sede em Itapetinga \cite{Dires}.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{regiao.eps}%{imagens/regiao}
    \caption[Simulação de humanos infectados na microrregião de Itapetinga-BA]{Simulação
de humanos infectados na microrregião de Itapetinga-BA. Parâmetros: $A = 650.000$ mosquitos,
$m = 30.000$ hospedeiros alternativos,
$N_H = 225.530$ habitantes, $\mu_H = 9,57\times 10^{-5}$ dia$^{-1}$, $\mu_V = 0,22$ dia$^{-1}$,
$\beta_H = 0,75$, $\beta_V = 1$, $\gamma_H = 0,3428$ dia$^{-1}$ e $b = 0,7$ (mosquito.dia)$^{-1}$.
Condições iniciais: $S_{H0} = 0,0366369$, $I_{H0} = 8,52026\times 10^{-8}$, $I_{V0} = 1,70582\times 10^{-7}$.}
    \label{fig:regiao}
\end{figure}

Na Figura \ref{fig:regiao} apresentamos o resultado da simulação computacional para
os va\-lo\-res de Humanos
Infectados $(I_H)$ pela doença
da dengue em toda microrregião de Itapetinga comparado aos valores de casos oficiais
registrados na 14ª Dires.
Nas Figuras \ref{fig:itapetinga}, \ref{fig:itororo} e \ref{fig:iguai} observamos
os resultados da simulação computacional para os valores de Humanos Infectados $(I_H)$
pela doença da dengue nos municípios de Itapetinga, Itoror\'o e Iguaí 
novamente
comparando com os valores de casos oficiais registrados na 14ª Dires.


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{itapetinga.eps}
    \caption[Simulação de humanos infectados no município de Itapetinga-BA]{Simulação de humanos
infectados no município de Itapetinga-BA. Parâmetros: $A = 166.000$ mosquitos, $m = 6.000$
hospedeiros alternativos, $N_H = 64.580$ habitantes, $\mu_H = 8,57\times 10^{-5}$ dia$^{-1}$, $\mu_V = 0,2$
dia$^{-1}$, $\beta_H = 0,75$, $\beta_V = 1$, $\gamma_H = 0,2428$ dia$^{-1}$ e $b = 0,9$ (mosquito.dia)$^{-1}$.
Condições iniciais: $S_{H0} = 0$, $I_{H0} = 0$, $I_{V0} = 0,2$.}
    \label{fig:itapetinga}
\end{figure}
\begin{comment}
Por fim, nas Figuras têm-se o resultado da simulação
computacional para os valores de Humanos Infectados $(I_H)$ pela doença da dengue nos
municípios de Itororó e Iguaí, também comparada com os valores de casos oficiais registrados
na 14ª Dires. %Além dos parâmetros já definidos na Tabela \ref{Table:ParametrosSIR}, ajustou-se alguns parâmetros do modelo. Para Itororó e Iguaí teremos respectivamente:
%População total $N_H = 19.914$ habitantes e $N_H = 25.705$ habitantes \cite{IBGE},
%número de hospedeiros alternativos $m = 4.000$ habitantes e $m = 2.000$ habitantes
%e taxa de recrutamento do mosquito $A = 125.000$ vetores e $A = 45.000$ vetores.
\end{comment}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{itororo.eps}
    \caption[Simulação de humanos infectados no município de Itororó-BA]{Simulação de humanos
infectados no município de Itororó-BA. Parâmetros: $A = 125.000$ mosquitos, $m = 4.000$
hospedeiros alternativos, $N_H = 19.914$ habitantes, $\mu_H = 5,57\times 10^{-5}$ dia$^{-1}$,
$\mu_V = 0,2$ dia$^{-1}$, $\beta_H = 0,75$, $\beta_V = 1$, $\gamma_H = 0,5428$ dia$^{-1}$ e
$b = 0,9$ (mosquito.dia)$^{-1}$. As condições iniciais são: $S_{H0} = 0$, $I_{H0} = 0$, $I_{V0} = 0,02$.}
    \label{fig:itororo}
\end{figure}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{iguai.eps}
    \caption[Simulação de humanos infectados no município de Iguaí-BA]{Simulação de humanos
infectados no município de Iguaí-BA. Parâmetros utilizados: $A = 45.000$ mosquitos, $m = 2.000$
hospedeiros alternativos, $N_H = 25.705$ habitantes, $\mu_H = 6,57\times 10^{-5}$ dia$^{-1}$,
$\mu_V = 0,2$ dia$^{-1}$, $\beta_H = 0,75$, $\beta_V = 1$, $\gamma_H = 0,2428$ dia$^{-1}$
e $b = 0,9$ (mosquito.dia)$^{-1}$. As condições iniciais são: $S_{H0} = 0,0121955$, $I_{H0} = 1,89577X10^{-8}$, $I_{V0} = 7,38102X10^{-8}$.}
    \label{fig:iguai}
\end{figure}

Observamos pelos gráficos apresentados que
o comportamento epidemiológico qualitativo dos dados é evidentemente capturado pelo modelo.
Notamos também que quanto maior a população total
do município ou microrregião, melhor o acordo entre o modelo e os dados experimentais.
Isso se dá devido ao fato de que quanto menor a população de um município mais
representativa a incidência ou não de um único caso e, naturalmente, o modelo
de equações diferenciais (\ref{sedo}) pressupõe variáveis populacionais contínuas,
gerando resultados melhores para $N_H$ grande.
\begin{comment}Vale lembrar que os dados experimentais
são os registrados pela 14ª Dires, o que evidentemente pode não representar a realidade
dos fatos, haja visto que está sujeito a não notificação de algum caso e, consequentemente,
o mesmo não esteja representado na amostra, gerando diferenças consideráveis.
\end{comment}
Ressaltamos ainda que o modelo (\ref{sedo}) não leva
em conta fatores migratórios, variações nas taxas de mortalidade e natalidade,
variações no parâmetros devidas a efeitos climáticos de temperatura e pluviosidade etc.

Percebemos nos gráficos que apesar de não termos introduzido
efeitos sazonais {\it ad hoc} no modelo, os mesmos emergem naturalmente,
corroborando uma maior incidência da doença do meio para o final do verão.
Essa época é mais propícia à disseminação da dengue por serem os ovos
do {\it Aedes aegypti} depositados pela fêmea em reservatórios de água e esses,
por sua vez, se tornam mais abundantes devido às chuvas rápidas de verão.

\begin{comment}
Outros fatores que justificam as diferenças entre os dados simulados e os dados reais apresentados nos gráficos são a população e o clima. Estes parâmetros estão sendo considerados no modelo como constantes. Sabe-se que fatores migratórios, taxas de natalidade, taxas de mortalidade, entre outros, tornam variáveis o quantitativo populacional, assim como para o clima, percebem-se as diferenças registradas de pluviosidade e temperatura a cada ano.

Percebe-se nos gráficos o efeito da sazonalidade da dengue. Isso se dá, devido à maior incidência da doença do meio para o final do verão, época propícia, pois os ovos do \textit{Aedes aegypti} são depositados pela fêmea em reservatórios de água, abundantes nesta época do ano, devido às chuvas rápidas de verão. E também devido às condições ideais de temperatura e umidade intensificando a atividade hematófaga do mosquito em relação aos mamíferos e, em especial, aos seres humanos.
\end{comment}
Além dos humanos infectados $(I_H)$, é possível analisar a população de vetores infectados $(I_V)$ responsáveis pela quantidade de casos simulados para determinado período, porém, não é possível compará-los com dados reais, devido a inexistência dos mesmos e a dificuldade em mensurá-los.
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{regiaoIV.eps}
    \caption[Simulação de vetores infectados na microrregião de Itapetinga-BA]{Simulação de vetores
infectados na microrregião de Itapetinga-BA,
utilizando os mesmos parâmetros e condições iniciais definidos na Figura \ref{fig:regiao}.}
    \label{fig:regiaoIV}
\end{figure}
Verificamos na Figura \ref{fig:regiaoIV} o mesmo efeito de sazonalidade para a infecção dos mosquitos. Estes dados foram obtidos a partir da simulação computacional realizada com os mesmos parâmetros da Figura \ref{fig:regiao}.
\begin{comment}
Apresentamos por fim na Figura \ref{fig:regiaoSH} os resultados da
simulação para a população de humanos susceptíveis $(S_H)$
para a microrregião de Itapetinga,
utilizando os mesmos parâmetros da Figura \ref{fig:regiao}.

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.7\textwidth]{regiaoSH.eps}
    \caption[Simulação de humanos susceptíveis na microrregião de Itapetinga-BA]{Simulação de humanos susceptíveis na microrregião de Itapetinga-BA, utilizando os mesmos parâmetros e condições iniciais definidos na Figura \ref{fig:regiao}.}
    \label{fig:regiaoSH}
\end{figure}
\end{comment}
%O uso de modelos matemáticos no processo de controle da doença aumenta a proximidade entre a teoria e a prática, tornando evidente a necessidade de desenvolvimento de tecnologias para controle de epidemias em acordo com os mesmos.

\newsec{Pontos de Equilíbrio do Modelo}
Nesta seção analisamos os pontos de equilíbrio do modelo (\ref{sedo}).
Considerando as faixas de variação dos setores das populações,  definimos a região de interesse biológico
% condições biológicas do ambiente simulado. Consideramos que a região tem uma população relativa de humanos susceptíveis $(S_H)$ e infectados $(I_H)$ maior
%que zero e uma população relativa de vetores infectados $(I_V)$ entre 0 e 1. Pode-se extrair:
\begin{equation}
\Omega = \{(S_H,I_H,I_V): 0 \leq I_V \leq 1 ; 0 \leq S_H; 0 \leq I_H; S_H + I_H \leq 1\}.
\end{equation}
Naturalmente o modelo (\ref{sedo}) tem sentido representativo do fen\^omeno apenas na região $\Omega$.

Igualando as derivadas temporais em (\ref{sedo}) a zero, obtemos dois pontos de
equilíbrio
%do modelo
$E_1=(1,0,0)$ e $E_2=(S^*_H, I^*_H, I^*_V)$
%\cite{esteva}
com
\begin{comment}
Pode-se identificar um ponto de equilíbrio trivial no modelo, referente à situação de uma população completamente saudável. Para este caso tería-se uma população com 100\% de humanos susceptíveis $S^*_H=1$, nenhum habitante da população de humanos infectado $I^*_H=0$ e nenhum vetor infectado $I^*_V=0$. Substituindo estes valores em (\ref{sedo}), tería-se uma identidade com todas as equações resultando em zero.

Assim, o primeiro ponto de equilíbrio do modelo $E_1=(1, 0, 0)$. $E_1$ é o ponto de equilíbrio da população livre da doença. Existe um segundo ponto de equilíbrio $E_2=(S^*_H, I^*_H, I^*_V)$ que pode ser calculado como \cite{esteva}:
\end{comment}
\begin{equation}
S^*_H = \frac{\beta + M}{\beta + MR_0}\,,\,\,
I^*_H = \frac{R_0 - 1}{\beta + MR_0}\,
\mbox{ e }\,I^*_V = \frac{\beta(R_0 - 1)}{R_0(\beta + M)}
\end{equation}
onde definimos as combinações lineares de parâmetros
\begin{equation}
\beta = \frac{b \beta_V N_H}{\mu_V (N_H + m)}\,,\,\,
M = \frac{\gamma_H + \mu_H}{\mu_H} \,,
\label{betaeM}
\end{equation}
e
\begin{equation}
 R_0 = \frac{b^2 \beta _H \beta _V N_H A/\mu_V}{(N_H + m)^2 \mu_V (\gamma_H + \mu_H)}
\label{R0}
\,.
\end{equation}

O par\^ametro $R_0$ acima definido é crucial para a an\'alise da 
estabilidade dos pontos de equilíbrio do modelo.
De fato $\tilde{R_0}\equiv \sqrt{R_0}$ representa o número básico de casos infecciosos secundários
gerados por um caso primário em uma população totalmente susceptível e suficientemente grande.
\begin{comment}
O parâmetro $\tilde{R_0}$ é um limiar que determina o comportamento dinâmico global do modelo. Se $\tilde{R_0} < 1$, a doença é estável, a doença vai dissiminar. Mas se $\tilde{R_0} > 1$ existe
um equilíbrio endêmico, implicando que a doença será sempre endêmica acima do valor limiar.
Este limiar ainda é utilizado para discutir estratégias de controle \cite{esteva}.
\end{comment}
Note que, como todos os par\^ametros do mo\-de\-lo s\~ao positivos, se $R_0<1$ o segundo ponto
de equilíbrio encontra-se fora da região $\Omega$ e temos apenas um ponto de equilíbrio
válido.  Pode-se mostrar que para $R_0\leq 1$, $E_1$ constitui um ponto de equilíbrio
assintoticamente est\'avel, enquanto para $R_0>1$, $E_1$ torna-se instável e $E_2$ é
estável.  Uma análise cuidadosa da estabilidade dos pontos $E_1$ e $E_2$, justificando
as afirmações acima, pode ser
encontrada em \cite{esteva}.

Considerando os valores numéricos dos parâmetros utilizados em nossas simulações
para a microrregião de Itapetinga, apresentamos na Tabela \ref{Table:R0} os valores
de $R_0$ e do segundo ponto de equilíbrio $E_2$.  Como todos os valores de $R_0$
s\~ao maiores que um, o modelo prevê a situação de equilíbrio endêmico para todos
os casos.

% a fim de determinar a estabilidade do modelo representado na Figura \ref{fig:regiao}, o valor encontrado de $\tilde{R_0}$ para este caso foi aproximadamente $7,05$. Como este valor é maior que o limiar, determina-se que na microrregião existe um equilíbrio endêmico, implicando que a doença será sempre endêmica. O ponto de equilíbrio endêmico calculado para esta microrregião é $E_2=(0.02130, 0.000273, 0.000767)$.	

%O valor de $\tilde{R_0}$ e $E_2$ para alguns municípios da microrregião encontram se na Tabela \ref{Table:R0}.

\begin{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Município  & $R_0$ & ${\widetilde{R}_0}$ & $E_2=(S^*_H, I^*_H, I^*_V)$ \\
\hline
Itapetinga & 134,563 & 11,600 &(0.007442, 0.000350, 0.00144)\\ 
\hline
Iguaí & 94,239 & 9,707 &(0.010623, 0.000268, 0.001116)\\
\hline
Itororó & 121,777 & 11,035 &(0.008215, 0.000102, 0.000381)\\
\hline
Itambé & 125,791 & 11,215 &(0.007954, 0.000147, 0.0000609)\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Valor de $\tilde{R_0}$ para os municípios da microrregião}
\label{Table:R0}
\end{table}

%Conforme a Tabela \ref{Table:R0}, encontramos a relação $\tilde{R_0} > 1$ para os municípios simulados, caracterizando a microrregião em equilíbrio endêmico.

\newsec{Discussão Final}

Efetuamos a simulação numérica do modelo de equações diferenciais (\ref{sedo}) originalmente proposto
por \cite{esteva} para a disseminação da dengue, confrontando os resultados com dados reais para uma microregião no
estado da Bahia.  Especificamente aplicamos o método de Runge-Kutta de quarta ordem
para a integração do sistema.
  O comportamento qualitativo global dos dados é descrito satisfatoriamente
pelo mo\-de\-lo.  Em particular, obtivemos aspectos de sazonalidade característicos
da transmissão de dengue, com aumento da incidência de casos no verão.
No entanto o mo\-de\-lo possui baixo poder preditivo local.  Naturalmente
a transmissão de dengue não é um fenômeno biológico simples de ser matematizado.


O modelo contém uma quantidade significativa de parâmetros e não con\-si\-de\-ra, por exemplo,
fatores migratórios, variações climáticas de temperatura e consequentemente
de parâmetros, variações em taxas de natalidade e mortalidade etc.  Possíveis
generalizações para o modelo encontram-se atualmente sob análise com vistas
a melhora de acordo entre os dados reais o os previstos, assim
como a expansão da região geográfica de estudo considerada.

\begin{comment}
Neste trabalho, desenvolvemos o estudo de um modelo matemático SIR baseado em equações diferenciais para descrever a evolução das populações envolvidas na interrelação entre mosquitos \textit{Aedes aegypti} com a presença do vírus da dengue e os seres humanos. Descreveu-se o modelo matemático especificando cada compartimento das populações bem como os seus vínculos e correlações. 

Foi implementado um programa em linguagem de programação C que possibilitou a simulação computacional das populações de humanos e vetores da microrregião de Itapetinga-BA. Para a resolução numérica de equações diferenciais, utilizou-se o método de Runge-Kutta de 4ª ordem. A utilização deste método permitiu aproximar os resultados das simulações com os valores reais da população.

Conseguiu-se descrever a evolução das populações de humanos e mosquitos diante do espalhamento do seu vírus entre os espécimes humanos, objetivando estudar o modelo e comparar os resultados com situações realísticas. Um fator dificultador nos estudos foi o grande número de parâmetros do modelo. Porém, dentre estes parâmetros, alguns estão razoavelmente bem estabelecidos na literatura.

Sendo a dengue uma doença muito expressiva no verão, a sazonalidade apresentada mostra picos de aumento de população do mosquito e maior incidência de infecção no auge da estação.

Com relação a estabilidade identificamos que a microrregião encontra-se em equilíbrio endêmico.

Efetuou-se uma simulação computacional de evolução temporal para um modelo SIR generalizado, comparando os resultados com dados reais de municípios da região do sudoeste da Bahia, obtendo bom acordo qualitativo porém, com algumas diferenças, que poderão ser minimizadas em possíveis modificações no modelo com vistas à inclusão de fatores migratórios, populações totais e temperatura variáveis.
\end{comment}

\begin{thebibliography}{99}

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\end{document}