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\documentclass{TEMA}

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\begin{document}

%********************************************************
\title
    {Modelos Matemáticos para Otimização do Tráfego Urbano Semaforizado\thanks{Trabalho apresentado no Congresso Nacional de Matemática Aplicada 2012.}}

\author
    {M. LACORTT%
     \thanks{lacortt@upf.br}\,,
     Instituto de Ciências Exatas e Geociências,
     ICEG,
     UPF - Universidade de Passo Fundo, 99001-970  Passo Fundo, RS, Brasil.
     \\ \\
     M.KRIPKA%
     \thanks{mkripka@upf.br}\,,
     Programa de Pós-Graduação em Engenharia,
     PPGEng,
     AUPF - Universidade de Passo Fundo, 99001-970  Passo Fundo, RS, Brasil.
     \\ \\
     R.KRIPKA%
     \thanks{rkripka@upf.br}\,,
     Instituto de Ciências Exatas e Geociências,
     ICEG,
     UPF - Universidade de Passo Fundo, 99001-970  Passo Fundo, RS, Brasil.}

\criartitulo

\runningheads {Lacortt, Kripka e Kripka}{Modelos Matemáticos para Otimização do Tráfego Urbano Semaforizado}

\begin{abstract}
{\bf Resumo}. Apresentam-se dois modelos matemáticos de otimização os quais, considerando os dados do trânsito da região que se pretende otimizar,
possibilitam fornecer tempos de verde que visam minimizar o tempo de percurso veicular. Também são apresentados os resultados computacionais obtidos
com a investigação desses modelos em um estudo realizado na região central da cidade de Passo Fundo, RS. Os resultados obtidos com os modelos apontam
para uma melhora significativa no fluxo veicular, dando respaldo a um possível emprego destes em situação real.

{\bf Palavras-chave}. Trânsito, Otimização Combinatória,Programação Semafórica.
\end{abstract}

%********************************************************
\newsec{Introdução}
O transporte veicular é um artifício indispensável para a mobilidade humana, do qual a maioria da população mundial usufrui para se deslocar de forma
rápida e segura, sendo estas características as mais importante para se classificar um bom meio de transporte. As crescentes facilidades em adquirir um meio
de transporte próprio, o desenvolvimento econômico, a má qualidade do transporte público e o aumento populacional constituem-se em fatores decisórios para o
 acúmulo de veículos nos centros urbanos. Em razão do aumento contínuo da frota veicular, os sistemas de trânsito atuais da maioria das cidades acabam não
 comportando o grande número de veículos existente. Por consequência, surgem os inevitáveis congestionamentos e, com esses, vários problemas à sociedade,
 como alto nível de estresse, poluição, acidentes e prejuízos econômicos, sendo estes últimos decorrentes do alto consumo de combustível e desperdício de
 tempo. Desse modo, o problema referente ao trânsito é uma das principais preocupações de governantes, dos profissionais da área de planejamento urbano e da
 população, de forma geral, tendo em vista que todos que usufruem de alguma maneira do  sistema viário urbano passam a ser afetados por tal situação.\\
Atualmente, existem vários dispositivos eletrônicos desenvolvidos com a finalidade de organizar o trânsito para que este flua de forma rápida e segura,
dentre os quais se destaca o semáforo, cujo desempenho está diretamente relacionado à sua programação. Visando minimizar os problemas de tráfego nas cidades
de médio e grande porte, diversos softwares e algoritmos têm sido desenvolvidos, tais como o sistema Siri (\cite{VIL}), Atefi (\cite{PIA}),
Scoot e Transyt (\cite{ROB}), sendo este último o mais citado na literatura. No entanto, esses softwares são de alto custo para aquisição e necessitam
de treinamento para sua utilização. Dessa forma, diante da falta de recursos e de mão de obra especializada por parte da maioria das prefeituras brasileiras,
os problemas referentes ao trânsito das cidades brasileiras não têm sido comumente estudados com o emprego dos sistemas citados.\\
Neste sentido, o presente trabalho tem com objetivo investigar e aplicar modelagens matemáticas de otimização para programação de semáforos que,
automatizadas, forneçam tempos de verde que reduzam de forma considerável o tempo de percurso veicular, especialmente nas regiões centrais de cidades de
médio e grande porte, cujo trânsito é intenso e controlado por semáforos.
\newsec{Engenharia de tráfego}\label{reg}
A engenharia de tráfego é um ramo da ciência destinada ao estudo de conceitos pertinentes a elementos dos sistemas de tráfego em geral, contribuindo
decisivamente para os planejamentos e tomadas de decisões relacionadas ao trânsito. Diversos conceitos são estudados e definidos, dentre os quais se destacam:
Aproximações: são os trechos de via que convergem para a interseção; Fase: é a aplicação completa de uma sequência de indicação de cores
de um semáforo; Estágio ou intervalo: é o período de tempo dentro do ciclo dado a cada uma das cores da sequência e Ciclo: é o tempo total para a completa
sequência de sinalização de uma interseção (\cite{BRA}).\\
A regulagem de semáforos proporciona o bom desempenho do tráfego em termos de fluidez e segurança e para realizá-la é necessário ter conhecimento
das principais características do transito pertencentes às vias, assim como, conceitos, técnicas e expressões que
quantificam tais características. A capacidade de uma aproximação sinalizada é definida como sendo o número máximo de veículos capazes de atravessar uma
interseção, num dado período de tempo, sendo chamada de fluxo de saturação, o qual consiste no fluxo que seria obtido se houvesse uma fila de veículos
na aproximação e a ela fossem dados 100 \% de tempo de verde do cruzamento (escoamento ininterrupto), expresso em unidade de veículos por hora de tempo
de verde (veículos/htv). Também deve ser considerado o fato de que o tempo de verde de uma dada fase não é totalmente aproveitado. No início do tempo de verde há uma perda ou atraso
inicial, em razão do tempo que o motorista leva para atingir a velocidade normal de operação. Nesta etapa a taxa de escoamento de veículos é baixa. À medida
que o tempo passa, essa taxa vai aumentando e, após alguns segundos, atinge um valor máximo, razoavelmente constante, que é o fluxo de saturação.
Após isso, durante o término do fluxo de verde e início do amarelo, o fluxo ainda continua máximo por alguns segundos e, então, começa a decair, até atingir
o valor zero. Assim, no Manual de Semáforos do DENATRAN (\cite{BRA}) se define o tempo de verde efetivo como o período do tempo de verde no qual ocorre o fluxo máximo
de veículos (fluxo de saturação). Esse é o tempo realmente aproveitado pela fase à qual foi alocado o tempo de verde na aproximação. Define ainda o tempo
perdido ou tempo morto como o tempo que se perde em virtude das reações dos motoristas no início e no fim do tempo de verde de uma dada fase e durante o
qual não há fluxo.\\
Para o cálculo dos parâmetros de trânsito descritos acima e de outros parâmetros de desempenho necessários para a regulagem de semáforos isolados, proposto
por Webster, (\cite{BRA}, p. 63-67), são utilizadas as equações descritas a seguir com suas respectivas notações.\\
Para determinar a capacidade de uma aproximação sinalizada ($ C_{p} $), medida em veículos por hora, é multiplicado o fluxo de saturação ($ S $) pelo
tempo de verde efetivo,
dividido pelo tempo de ciclo ($ g_{ef}$) em segundos, calculado por: $C_{p} = S \cdot \left(\frac{g_{ef}}{C} \right)$.
Já o tempo de verde efetivo ($g_{ef}$) é definido pela soma do tempo de verde normal ($g_{ef}$) ao tempo de amarelo ($t_{a}$), subtraídos
do tempo perdido por fase ($I$), podendo ser calculado pela Equação (\ref{reg.dois}).\\
\begin{equation}
    g_{ef} = (g+t_{a})-I \label{reg.dois}
\end{equation}
Deve-se assegurar que a duração do período de verde de uma fase não seja inferior ao limite mínimo, estabelecido em 10s. Segundo Leite (citado por \cite{LIM}),
o tempo de amarelo, deve ser da ordem de: 3s, quando a velocidade for menor ou igual a 50 km/h; 4s, quando a velocidade for maior que 50 km/h e menor
ou igual a 80 km/h e 5s, quando a velocidade for maior que 80 km/h.\\
O tempo perdido por ciclo ($ T_{p} $), segundo Lima (\cite{LIM}), pode ser definido pelo somatório dos tempos perdidos por fase ($I_i$), mais o somatório dos
tempos perdidos menos os tempos de amarelo das fases envolvidas ($t_a$), dado pela Equação (\ref{reg.tres}).Para o mesmo autor, caso não se faça o uso da
Equação (\ref{reg.tres}), o tempo perdido por fase deve ser de 2 a 3 segundos, ou deve-se usar o tempo
perdido total como a soma dos tempos de amarelo.\\
\begin{equation}
    T_{p} = \sum_{i=1}^n I_i + \sum_{i=1}^n (I-t_a)_i \label{reg.tres}
\end{equation}
Seguindo com a modelagem de Webster, o fluxo de saturação ($S$) de uma aproximação, medido em veículos por hora de tempo verde ((v/htv)), pode ser estimado
por $S = 525 \cdot L$, onde $L$ é corresponde à Largura da aproximação, em metros.\\
A taxa de ocupação ($y$) de uma dada aproximação (ou corrente de tráfego) é a relação entre a demanda de tráfego ou fluxo veicular ($q$) e o
fluxo de saturação ($S$), calculada por: $y = \frac{q}{S}$. \\
A taxa de ocupação é uma medida absoluta da solicitação de tráfego numa aproximação. Por exemplo: uma taxa de ocupação $y=0,5$ corresponde a dizer que a
quantidade de veículos ($q$ ), que é a solicitação atual da aproximação, é a metade da capacidade potencial máxima de atendimento.\\
O tempo de verde é alocado de acordo com a solicitação de atendimento das aproximações. Logo, quanto maior for a demanda das aproximações de uma dada fase,
maior o tempo de verde a ser alocado para mesma.\\
O grau de saturação ($X$), definido como sendo a relação entre a demanda de tráfego ($q$) e a capacidade de atendimento de uma aproximação ($C_{p}$), é
calculado por $X = \frac{q}{C_{p}}$.
O grau de saturação é um coeficiente que indica, dentro das condições reais de operação da interseção, o quanto a demanda está próxima da capacidade horária
de escoamento. Quando o grau de saturação for superior a 1, significa que a solicitação é maior que a capacidade de atendimento da aproximação, o que
significaria formação de fila, gerando um congestionamento em razão dos veículos que chegam e não são atendidos.\\
Webster também formulou o cálculo de ciclo ótimo ($C_{o}$), obtido através de uma série de estudos e simulações computacionais do
comportamento do fluxo de tráfego e da relação entre atraso médio e tamanho de ciclo, para intersecções sinalizadas isoladas, em função apenas do tempo de
perda total ($T_{p}$) e do somatório das taxas de ocupação críticas ($y_{c_{i}}$ ), conforme a Equação (\ref{reg.sete}).\\    	
\begin{equation}
    C_{o} = \frac{1,5 \cdot T_{p}+5}{1- \sum_{i=1}^n y_{c_{i}}}
\label{reg.sete}
\end{equation}
Apesar de os modelos de Webster serem, em sua maioria, originados em 1964, têm grande validade na atualidade, visto que muitos softwares de programação
de semáforos têm como base seus modelos de programação semafórica.\\
Outro conceito importante para coordenação de semáforos consiste no atraso veicular, o qual é relativo à parcela do tempo consumido em um deslocamento que
excede ao tempo desejado pelo usuário (\cite{SIL}, p.5), ou seja, devido às paradas que o motorista é obrigado a realizar ao longo do deslocamento
e ao fato de trafegar com velocidade menor que a desejada. \\
Para determinação do atraso médio existem algumas fórmulas, as quais envolvem os parâmetros do trânsito do cruzamento específico e conforme o Manual de
semáforos do DENATRAN (\cite{BRA}, p. 73), por meio de uma série de pesquisas, Webster deduziu a fórmula da Equação (\ref{reg.oito}) para o atraso médio total
sofrido por um veículo, onde os dois primeiros termos da equação referem-se ao atraso uniforme e aleatório, respectivamente e o terceiro termo é um fator de
correção correspondente a cerca de 5\% a 10\% do atraso total.\\
\begin{equation}
    d_{m} = \frac{C(1-\lambda_i)^{2}}{2(1-X_i\lambda_i)} + \frac{X_i^{2}}{2 q_i (1-X_i)}-0,65 \left(\frac{C}{q_i^{2}}\right)^{\frac{1}{3}}X_i^{(2+5\lambda_i)}
\label{reg.oito}
\end{equation}
\noindent onde: $C$: Tempo de ciclo; $d_{m}$: Atraso médio total sofrido por um veículo; $\lambda_i$: Relação entre o tempo de verde efetivo e
o tempo de ciclo $ \left(\frac{g_{ef_{i}}}{C}\right)$ ; $X_i$: Grau de saturação da aproximação e $q_i$ Demanda (veículos/segundos).\\
O cálculo de atraso médio por veículo também pode ser estimado pela forma reduzida de Webster, através da Equação (\ref{reg.nove}).\\
\begin{equation}
    d_{mr} = \frac{9}{10}\left[\frac{C(1-\lambda_i)^{2}}{2(1-X_i\lambda_i)} + \frac{X_i^{2}}{2 q_i (1-X_i)}\right] \label{reg.nove}
\end{equation}
O número de paradas sofridas por veículos em uma aproximação é outro fator de desempenho importante, utilizado neste trabalho. Segundo
Chile (\cite{CHI}, p.111), estima-se, pela Equação (\ref{reg.dez}), a proporção percentual de veículos detidos ($h$), que param na aproximação pelo menos uma
vez .\\
\begin{equation}
    h = \frac{1-\lambda_i}{1-y} \label{reg.dez}
\end{equation}
Além disso, considerou-se o tempo de deslocamento ($T_d$) em um conjunto de aproximações o qual, segundo Gobbo (\cite{GOB}, p. 13), é definido pelo produto
do fluxo ($q$) pela soma do atraso veicular ($A_v$) mais tempo de deslocamento ($d$), dividido pela velocidade esperada de deslocamento do fluxo na aproximação,
conforme a Equação (\ref{reg.onze}).\\
\begin{equation}
    T_d = q \cdot \left(\frac{d}{V_p} + A_v \right) \label{reg.onze}
\end{equation}
\newsec{Modelos para otimização do tráfego urbano semaforizado}\label{sem}
Neste trabalho são apresentados dois modelos matemáticos de otimização, os quais foram investigados e aplicados. Estes modelos foram elaborados
considerando conceitos e expressões expostos no item anterior. Com estes modelos, objetiva-se otimizar, através das variáveis tempos de verde,
o tempo de percurso veicular em vias com trânsito semaforizado.

\subsection{Modelo 1}
Propõe-se um modelo que visa representar de forma significativa situações reais do cotidiano do tráfego urbano semaforizado, onde,
foram consideradas as expressões de atraso uniforme e atraso aleatório de Webster (\cite{BRA}), bem como a expressão para determinação do número de paradas
sofrida por um veículo, exposta por Chile (\cite{CHI}), sendo que no modelo em questão, o tempo de verde considerado não é o efetivo e sim o tempo de verde de operação
do semáforo (verde normal). Diante destas expressões, obteve-se uma função objetivo que representa o Índice de Desempenho de um veículo que trafegue em uma via semaforizada ($ID$),
expresso na Equação (\ref{sem.doze}) como o somatório dos indicativos de desempenho de cada cruzamento da região analisada.\\
\begin{equation}
    ID = \sum_{i=1}^{n_c} (AU_{i} + AL_{i} + KP_{i}) \label{sem.doze}
\end{equation}
\noindent onde: $n_{c}$: Número de cruzamentos; $AU_i$:Atraso médio uniforme do link $i$; $AL_i$: Atraso médio aleatório do link  $i$; $K$ : Fator de
penalidade de parada; $P_i$ : Número de paradas sofridas por um veículo no link $i$ .\\
O valor do $K$, segundo Chile (\cite{CHI}), pode variar de 10 a 60, dependendo da importância imposta ao número de paradas. As composições matemáticas de
cada termo estão descritas nas equações (\ref{sem.treze}), (\ref{sem.quatorze}) e (\ref{sem.quinze}). A expressão que corresponde ao atraso uniforme
($AU$) sofrido por um veículo é dada pela Equação (\ref{sem.treze}).\\
\begin{equation}
    AU = \frac{C(1-\lambda n_i)^{2}}{2(1-X_i\lambda n_i)}\label{sem.treze}
\end{equation}
\noindent onde: $\lambda n_i$: Relação entre o tempo de verde normal e o tempo de ciclo  $\frac{g_{i}}{C}$ e $X_{i}$: Grau de saturação da aproximação $i$.\\
Já o cálculo do atraso aleatório ($AL$)é obtido pela Equação (\ref{sem.quatorze}).\\
\begin{equation}
    AL = \frac{X_{i}^{2}}{4(1-X_{i})}\label{sem.quatorze}
\end{equation}
O cálculo do número de paradas ($P$) sofridas por um veículo pode ser obtido pela Equação (\ref{sem.quinze}).\\
\begin{equation}
    P = (\frac{1-\frac{g_{i}}{C}}{1-\frac{q}{S}}) \label{sem.quinze}
\end{equation}
\noindent onde: $g_{i}$: Tempo de verde; $S$: Fluxo de saturação e $q$: Fluxo veicular.\\
As equações, acimas descritas, simulam, em situações reais, a periodicidade desses fatores de desempenho em $n$ cruzamentos de uma rede composta
por semáforos, o qual, como descrito anteriormente, terá como variáveis os tempos de verde. Com a obtenção dos tempos de verde para cada cruzamento da rede otimizada, as demais temporizações podem ser obtidas facilmente. Os tempos de ciclo,
vermelho total e tempos de amarelo são definidos anteriormente à otimização e os demais tempos são obtidos por meio do diagrama de tempos,
disponível na literatura((\cite{BRA}), p. 62). Assim, de forma genérica, o Modelo 1 de otimização pode ser representado da seguinte forma:\\

\noindent Minimizar
    \[ID = \sum_{i=1}^{n_c} (AU_{i} + AL_{i} + KP_{i})\]
\noindent Sujeito à
   \[ T _{p} \leq g_{i} \leq C,    i=1,\ldots,n \]

\noindent onde: $T _{p}$: Tempo perdido.

\subsection{Modelo 2}\label{mol}
Assim como o Modelo 1, o Modelo 2 foi composto por uma expressão que indica o desempenho de uma via semaforizada, onde a composição da função objetivo
tem como base a fórmula do tempo de deslocamento de Gobbo ((\cite{GOB}, p. 13). A fórmula proposta diferencia-se por representar o tempo de deslocamento de um
veículo, ao passo que a fórmula descrita por Gobbo representa o tempo de todo o fluxo veicular presente na via. A função que compõe este modelo tem como objetivo quantificar o tempo total de deslocamento ($T _{o}$) de um veículo em uma rede , composta por uma série de
$n$ cruzamentos, conforme a Equação (\ref{mol.dezesseis}.\\
\begin{equation}
    T_{o} = \sum_{i=1}^{n} (\frac{d}{V_p} + A_{v}) \label{mol.dezesseis}
\end{equation}
\noindent onde: $d$: Distância da via; $V_p$: Velocidade esperada de deslocamento do fluxo na aproximação e  $A_{v}$ : Atraso veicular.\\
Resumidamente, o Modelo 2 pode ser representado da seguinte forma:\\

\noindent Minimizar
    \[T_{o} = \sum_{i=1}^{n} (\frac{d}{V_p} + A_{v})\]
\noindent Sujeito à
   \[ T _{p} \leq g_{i} \leq C,    i=1,\ldots,n \]

\subsection{Implementação computacional dos modelos}\label{imp}
Os modelos propostos foram implementados em linguagem Fortran, tendo como base um programa desenvolvido por Kripka (\cite{KRI}) para a otimização com o
emprego da meta-heurística Simulated Annealing (\cite{KIR}. Para a execução dos programas são necessários os seguintes dados de entrada: fluxo de saturação e
fluxo veicular de cada link em cada cruzamento,  tempo perdido e tamanho de ciclo. Para o Modelo 2, além dos dados citados, são necessários o fornecimento do
comprimento de cada link e a velocidade esperada  na via.\\
Uma vez definida uma rede, a função objetivo é minimizada para o somatório das n interseções dessa rede, tendo como variáveis os tempos de verde para
programação dos semáforos. Um único tempo de verde de cada interseção é considerado como variável independente, visto que o tempo total do ciclo em cada
cruzamento é predefinido. Em cada solução possível, os tempos de verde podem assumir apenas valores inteiros (múltiplos de segundo), o que caracteriza o
problema como de otimização combinatória.\\

\newsec{Estudo da região central de Passo Fundo}
Para validação dos modelos, diversas análises foram efetuadas. No presente item são apresentados alguns resultados obtidos. O estudo mais abrangente efetuado
é descrito em Lacortt (\cite{LAC}). Na sequência é apresentado um estudo em uma região central da cidade de Passo Fundo, RS, onde, foram coletados dados reais
referentes a esta região e, após, foram realizadas comparações entre os resultados das otimizações obtidos pelos modelos propostos e os dados reais praticados
na região considerada. Além destas análises, também são apresentadas os resultados obtidos de um estudo para verificar as influências que variações nos tempos
de ciclo proporcionam aos índices de desempenho: atraso uniforme e grau de saturação.\\
Segundo Censo de 2010, a cidade de Passo Fundo possui área aproximada de 758,27 $km^{2}$, população aproximada de 184.869 habitantes e frota veicular, incluindo
motocicletas,  de 77.370. Tais características fazem de Passo Fundo uma cidade com alto fluxo veicular, onde nos últimos anos tornou-se rotineira
a ocorrência de engarrafamentos, formações de filas e demais problemas consequentes dessa situação. Para a definição da rede selecionada para a otimização foi considerado o alto fluxo de veículos na região, sendo esta rede composta por cruzamentos
semaforizados, definida pelos cruzamentos da Avenida Brasil com as seguintes vias: Av. Sete de Setembro, rua Cel. Chicuta, Av. Bento Gonçalves Rua Fagundes
dos Reis. Após a escolha da rede, a próxima etapa foi a obtenção dos dados de trânsito referentes à região escolhida, os quais serviram como parâmetros de entrada
para resolução computacional do modelo, bem como os valores necessários para se determinarem as medidas de desempenho da rede.\\
Dessa forma, foi feito um levantamento de dados referentes ao trânsito da região selecionada. O fluxo de saturação, fluxo veicular, distância das vias
pertencentes aos cruzamentos e temporização atual dos semáforos foram obtidos através de dados fornecidos pelo departamento de trânsito da Prefeitura
Municipal de Passo Fundo. As velocidades esperadas para as vias foram definidas pelos próprios autores,levando em conta as características e condições da
trafegabilidade da via. Assim, para esta rede, as velocidades esperadas para as vias foram de 50 km/h para a av. Brasil e de 40 km/h para as vias transversais.\\
Os fluxos de saturação ($S$) e fluxo veicular ($q$), em veículos por hora de tempo verde, das vias pertencentes a essa rede estão expostos na
Tabela \ref{tabela1}, onde a Fase 1 é composta pela av. Brasil e a Fase 2, pela vias transversais.\\
Os comprimentos das vias pertencentes aos cruzamentos foram obtidos através de recursos do Google Maps, apresentados na Tabela \ref{tabela2}.\\
Para a obtenção da média de veículos retidos após o término do tempo de verde, é necessário obter a média entre a quantidade de veículos que chegam e param
durante o tempo de vermelho (veículos em espera) e a quantidade de veículos que passam durante o tempo de verde. Assim, a quantidade de veículos retidos
corresponde à diferença entre os dois.\\
Na busca da quantificação das medidas relatadas anteriormente, foi realizada uma pesquisa de campo, na qual foram coletadas dez amostras
do número de veículos em espera durante o tempo de vermelho e do número de veículos que passam durante o tempo de verde, as quais foram obtidas pela
contagem de veículos e foram realizadas em dois dias, nos intervalos entre 11 e 12h e entre 18 e 19h. A primeira foi coletada em uma sexta-feira, dia 8 de
abril de 2011, e a outra ocorreu em uma segunda-feira, dia 11 de abril de 2011. Justifica-se a escolha desses horários por serem os de maior fluxo veicular,
segundo informações de técnicos da Prefeitura Municipal de Passo Fundo. Com os valores obtidos, foram calculados os valores médios de veículos em espera e
de veículos que passam a aproximação.\\
Com o objetivo de se obterem novos planos semafóricos otimizados, foi efetuada a resolução por meio dos dois modelos analisados. Inicialmente, foram
realizadas otimizações por meio do Modelo 1.  Neste estudo de caso foram feitas otimizações com variações do fator de penalidade do número de parada ($K$)
de 10 em 10 unidades, em um intervalo de 10 a 60. Para o exemplo específico, os tempos permaneceram os mesmos para todos os casos, com os diferentes valores
do $k$. Após os dados obtidos pela otimização com o Modelo 1, foi realizada a otimização com o Modelo 2, a qual, para o caso específico, se obteve os mesmos
tempos  apresentados para o Modelo 1.\\
\begin{table} [h]
\caption{Fluxo de saturação e fluxo veicular (em vht) nas vias da rede.} \label{tabela1}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline   & \multicolumn{2}{c|}{Fase 1}   & \multicolumn{2}{c|}{Fase 2} \\
\hline  Cruzamentos & $S$ & $q$ & $S$ & $q$ \\
\hline
\hline Av. Br. x Av. Sete de Setembro & 2637 & 1397	& 3945	& 998 \\
\hline Av.Br. x Cel. Chicuta & 2637	& 1201	& 3965	& 1352 \\
\hline Av.Br. x Bento Gonçalves & 2550	& 1495	& 2820	& 642 \\
\hline Av. Br. x Fagundes dos Reis & 2637	& 1655	& 4183	& 976 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\begin{table} [h]
\caption{Comprimento das vias, em metros, do percurso otimizado.} \label{tabela2}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline  & \multicolumn{4}{c|}{Cruzamentos}\\
\hline  Ruas e Avenidas & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
\hline Av. Brasil & 62	& 100 & 260	& 280 \\
\hline Transversais & 130	& 150	& 130 &	140 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
As temporizações antes da otimização (atuais) e após a otimização estão expostas nas Tabelas \ref{tabela3} e \ref{tabela4}, onde o cruzamento 1 é composto
pela a av. Brasil com a av. Sete de Setembro; o cruzamento 2,   pela av. Brasil com a Cel. Chicuta; o cruzamento 3, pela av. Brasil com a Bento Gonçalves e
o cruzamento 4, pela av. Brasil com a Fagundes dos Reis. Nessa tabela, cada tempo e vias são definidos pelas seguintes siglas: $T_{p}$ é o tempo perdido;
 $Ver$ é o tempo de vermelho; $g$ é o tempo de verde; $C$ é o tempo de ciclo; $Av$ é a Avenida Brasil e $tran$, as demais vias transversais.\\
\begin{table} [h]
\caption{Tempos semafóricos atuais e otimizados} \label{tabela3}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline \multicolumn{7}{|c|}{ATUAIS} \\
\hline Cruzamentos & $T_{p}$ & $g_{av}$ & $Ver_{av}$ &  $g_{tran}$ & $Ver_{tran}$ & $C$ \\
\hline  1 & 19	& 40 & 28 &	25 & 43 & 84 \\
\hline  2 & 19	& 40 & 28 &	25 & 43 & 84 \\
\hline  3 & 19	& 40 & 28 &	25 & 43 & 84 \\
\hline  4 & 19	& 40 & 28 &	25 & 43 & 84 \\
\hline \multicolumn{7}{|c|}{OTIMIZADOS}\\
\hline Cruzamentos & $T_{p}$ & $g_{av}$ & $Ver_{av}$ &  $g_{tran}$ & $Ver_{tran}$ & $C$ \\
\hline  1 & 19	& 44 & 24 &	21 & 48 & 84 \\
\hline  2 & 19	& 37 & 31 &	28 & 41 & 84 \\
\hline  3 & 19	& 46 & 22 &	19 & 50 & 84 \\
\hline  4 & 19	& 45 & 23 &	20 & 49 & 84 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
Visando comparar se ocorreriam melhoras com a implementação dos tempos sugeridos pelos modelos em relação aos tempos atuais, também foi realizada uma
análise dos indicativos de desempenho da região após a otimização, caso esses tempos fossem implementados. Os indicativos de desempenho definidos para esta
análise foram o grau de saturação, o atraso uniforme e o número de veículos retidos após o tempo de verde. O indicativo de desempenho grau de saturação antes
e após a otimização estão apresentados na Tabela \ref{tabela4}.\\
\begin{table} [h]
\caption{Graus de saturação ($X$), com tempos semafóricos atuais e otimizados.} \label{tabela4}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline {\small Cruzamentos} & \multicolumn{2}{c|}{1} & \multicolumn{2}{c|}{2} & \multicolumn{2}{c|}{3} & \multicolumn{2}{c|}{4}\\
\hline {\small Aprox.} &{\small Brasil} &{\small Sete} &{\small Brasil} &{\small Chicuta} &{\small Brasil} &{\small Bento} &{\small Brasil} &{\small F. Reis}\\
\hline {\small Atuais} & 1,11	& 0,85	& 0,95	& 1,15	& 1,23	& 0,76	& 1,32	& 0,78 \\
\hline {\small Otimizados} & 1,01 & 1,01 & 1,03 & 1,02	& 1,07	& 1,01	& 1,17	& 0,98 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}\\
Diante dos resultados, observa-se que ocorreriam melhoras no grau de saturação nas vias, principalmente nos superiores a 1, tendo em vista que o ideal é o
grau de saturação ser inferior a 1. Porém, para o tamanho de ciclo e de tempo perdido atuais, isso não foi possível. Outra vantagem que pode ser observada
nos valores do grau de saturação correspondentes à solução otimizada é que tendem a ficar equilibrados entre as fases de cada cruzamento, proporcionando,
assim, igualdade de condições de trafegabilidade em ambos os sentidos.\\
Na busca de verificar as influências que as mudanças dos tempos de ciclo proporcionam nas temporizações semafóricas e nos índices de desempenho atraso
uniforme e grau de saturação, a rede do exemplo foi otimizada pelo Modelo 1, com os tempos de ciclo em um intervalo de  84 a 114s, variando de 10 em 10s,
obtendo os resultados da Tabela \ref{tabela5}. Observou-se que o aumento do ciclo proporciona uma redução no grau de saturação, indicando, dessa forma,
melhoras para este indicativo. Em contraposição, o aumento do tempo de ciclo acarreta um maior tempo de espera durante o tempo de vermelho, influenciando
diretamente no aumento do atraso uniforme. Assim, na escolha pelo melhor tempo de ciclo neste caso, teria de ser levado em conta o que proporciona melhor
qualidade de trafegabilidade ao usuário da via: o esvaziamento total da via (caixa) ao término do sinal verde (grau de saturação) ou a redução do tempo de
espera no sinal vermelho (atraso uniforme).
\begin{table} [h]
\caption{Tempos, graus de saturação e atraso uniforme para diferentes ciclos } \label{tabela5}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Ciclo & Cruzamentos & $T_{p}$ & $g_{av}$ & $X_{av}$ &  $g_{tran}$ & $X_{tran}$ & $AU$ \\
\hline  84 & 1 & 19	& 44 &1,01  &21 & 1,01 & 51,88 \\
\hline  84 & 2 & 19	& 37 &1,03  &28 & 1,02 & 52,47 \\
\hline  84 & 3 & 19	& 46 &1,07  &19 & 1,01 & 53,34 \\
\hline  84 & 4 & 19	& 45 &1,17  &20 & 1,00 & 56,11 \\
\hline
\hline  94 & 1 & 19	& 51 &0,98  &24 & 0,99  &55,81 \\
\hline  94 & 2 & 19	& 43 &1,00	& 32 &1,00	&56,43 \\
\hline  94 & 3 & 19 &54	 &1,02	& 21 &1,01	&57,27 \\
\hline  94 & 4 & 19	&53	 &1,11	&22	&1,00	&59,97 \\
\hline
\hline  104 & 1 & 19 & 57 &0,97  &28 & 0,94 & 59,75 \\
\hline  104 & 2 & 19 & 49 &0,97  &36 & 0,99 & 60,44 \\
\hline  104 & 3 & 19 & 61 &1,00  &24 & 0,99 & 61,32 \\
\hline  104 & 4 & 19 & 61 &1,07  &24 & 1,00 & 64,00 \\
\hline
\hline  114 & 1 & 19 & 64 &0,94  &31 & 0,93 & 63,77 \\
\hline  114 & 2 & 19 & 54 &0,96  &41 & 0,95 & 64,46 \\
\hline  114 & 3 & 19 & 68 &0,98  &27 & 0,96 & 65,41 \\
\hline  114 & 4 & 19 & 68 &1,05  &27 & 0,99 & 68,22 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

\newsec{Conclusões}
Diante dos resultados obtidos com o estudo, se obseva que os tempos otimizados pelos dois modelos foram os mesmos, sendo que estes, em comparação com os
tempos atuais apresentaram melhoras significativas nos indices de desempenho das vias, reduzindo o número de veículos retidos após o término do tempo verde,
o grau de saturação e o atraso uniforme. Já, se tratando de mudanças nas temporizações do tamanho de ciclo, observam-se melhoras no grau de saturação, a
medida que o ciclo é aumentado, mais em contra partida o medida que este aumento ocorre, o atrazo uniforme vai aumentado, sugerindo dessa forma obter um
tempo de ciclo baseado no que proporciona melhor qualidade de trafegabilidade ao usuário da via: o esvaziamento total da via (caixa) ao término do sinal
verde (grau de saturação) ou a redução do tempo de espera no sinal vermelho (atraso uniforme).Os resultados sugerem que a adoção da metodologia proposta
no presente trabalho, em cidades de médio e grande porte, proporcionando melhoras no desempenho das vias e, no caso específico da região central da cidade
de Passo Fundo, pode acarretar em uma melhora significativa nos indices de desempenho das vias estudadas, consistindo unicamente num melhor aproveitamento
dos recursos já existentes e implantados.

\vspace*{.3cm}
\begin{abstract}
{\bf Abstract}.This work presents two mathematical models developed in order to minimize the traffic course time in cities of medium and large size, by
taking the green time of traffic signals as design variable. The models were implemented and applied to a central region of the city of Passo Fundo, RS.
The obtained results indicated a significant enhancement regarding veicular flow, suggesting a possible employment of the model to real situations.
\end{abstract}

\begin{thebibliography}{15}

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\end{thebibliography}

\end{document}
\newpage
$ \  \  $  \thispagestyle{myheadings}  \markboth{      }{   }
