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\documentclass{TEMA}

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\begin{document}

%********************************************************
\title
    {Confiabilidade Autovalid\'avel de Sistemas com Processo de Falhas Exponencial\thanks{Trabalho apresentado no XXXIV Congresso Nacional de Matem\'atica Aplicada e Computacional (CNMAC 2012).}}


\criartitulo

\runningheads {}{Confiabilidade Autovalid\'avel para Sistemas com Processo de Falhas Exponencial}

\begin{abstract}
{\bf Resumo}. A computa\c c\~ao da confiabilidade envolve n\'umeros reais, o que gera problemas num\'ericos decorrentes das limita\c c\~oes encontradas na manipula\c c\~ao de reais em m\'aquinas digitais.  Este trabalho prop\~oe m\'etodo, implementado no Matlab utilizando a biblioteca Intlab, para a obten\c c\~ao de intervalos que encapsulam valores de confiabilidade real de sistemas com processo de falhas exponencial, controlando erros num\'ericos. O software SHARPE foi empregado para validar o m\'etodo implementado. 

%Observou-se que os intervalos obtidos realmente encapsularam os valores num\'ericos calculados pelo aplicativo, indicando que o m\'etodo proposto \'e, de fato, uma alternativa para a representa\c c\~ao autovalid\'avel de valores que mensuram a confiabilidade de sistemas complexos.

{\bf Palavras-chave}. Intervalo encapsulador, Confiabilidade real, Confiabilidade autovalid\'avel, Distribui\c c\~ao Exponencial.
\end{abstract}


%********************************************************
\newsec{Introdu\c c\~ao}

%Falhas existem e v\^em se tornando elementos cada vez mais observados na competi\c c\~ao entre produtos. As falhas acontecem de controles remotos a avi\~oes, podendo ocasionar enormes preju\'izos econ\^omicos e, at\'e mesmo, mortes. Nesse contexto, empresas passaram a se preocupar com m\'etricas de confiabilidade \cite{ebeling,kuozuo,trivedi} de seus produtos. Informa\c c\~oes exatas sobre confiabilidade passaram a ser valorizadas pelos consumidores e se tornaram um fator decisivo para o sucesso de produtos.

%Segundo Meyer \cite{meyer:83}, existe grande quantidade de provas emp\'iricas para indicar que a ocorr\^encia de falhas n\~ao pode ser prevista a partir de um modelo determin\'istico. Portanto, um modelo probabil\'istico, denominado de {\bf confiabilidade}, \'e apropriado para a modelagem matem\'atica do processo de falhas ou lei de falhas \cite{meyer:83} de um sistema.

A confiabilidade \cite{ebeling,kuo,trivedi} \'e uma probabilidadade e seu c\'alculo necessariamente gera n\'umeros reais, o que resulta em problemas num\'ericos originados primordialmente da limita\c c\~ao de se operar com os reais em m\'aquinas digitais.  A utiliza\c c\~ao de intervalos \cite{moore3,moore4} \'e uma alternativa para encapsular valores reais, controlando erros num\'ericos. Portanto, intervalos empregados nesse contexto s\~ao denominados autovalid\'aveis. Dessa forma, este artigo apresenta um m\'etodo num\'erico, que resulta em {\bf intervalos autovalid\'aveis}, isto \'e, intervalos que englobam o valor real da fun\c c\~ao confiabilidade \cite{ebeling,trivedi}.

%TO DO minha ref

A matem\'atica intervalar \cite{moore:09,moore2,moore3,moore4} fornece fundamenta\c c\~ao te\'orica para o desenvolvimento do m\'etodo intervalar proposto. Os intervalos autovalid\'aveis obtidos neste trabalho foram calculados utilizando aritm\'etica intervalar de  exatid\~ao m\'axima \cite{kulish}.  Assim, os intervalos possuem a menor amplitude poss\'ivel, com limites que pertencem ao sistema de ponto-flutuante \cite{goldberg} implementado na m\'aquina digital. A aritm\'etica intervalar de exatid\~ao m\'axima tamb\'em garante que os limites de intervalos s\~ao formados por n\'umeros consecutivos no sistema de ponto-flutuante em quest\~ao, o que permite afirmar que n\~ao existe intervalo de menor amplitude que encapsula um dado valor real.

Os c\'alculos intervalares foram realizados no Matlab \cite{matlab}, utilizando a biblioteca IntLab \cite{rump}. De acordo com Moore et al. \cite{moore:09}, o IntLab garante que os intervalos obtidos s\~ao de exatid\~ao m\'axima, com limites representados por 16 d\'igitos decimais \cite{IEEE}.

Desse modo, o m\'etodo intervalar proposto foi utilizado para a representa\c c\~ao autovalid\'avel do valor da fun\c c\~ao confiabilidade real de sistemas com componentes com lei de falhas apresentando distribui\c c\~ao Exponencial\footnote{Segundo Ebeling \cite{ebeling}, a distribui\c c\~ao Exponencial \'e usualmente empregada na modelagem de processos de falhas de sistemas.}. Intervalos obtidos foram comparados com os resultados do software SHARPE \cite{trivedi}. Segundo Trivedi et al. \cite{trivedi1}, o software SHARPE \'e utilizado por universidades e empresas em confiabilidade e an\'alise de desempenho.


%Portanto,  buscou-se mostrar que os intervalos autovalid\'aveis, obtidos neste trabalho, para a confiabilidade de sistemas complexos encapsulam valores calculados pelo aplicativo e apresentam-se com exatid\~ao superior aos mesmos valores.  

%Para esses c\'alculos foi utilizado o M\'etodo de Simpson Intervalar \cite{caprani} para a obten\c c\~ao de intervalos encapsuladores para valores de probabilidades de vari\'aveis aleat\'orias cont\'inuas. Em seguida, uma composi\c c\~ao desses valores intervalares foi realizada para o c\'alculo de intervalos autovalid\'aveis para sistemas complexos, ou seja, formados por mais de um componente. Neste trabalho, foram abordados sistemas complexos com componentes em configura\c c\~ao em s\'erie e em paralela \cite{kuo,trivedi}.

%TO DO colocar IEEE


%TO DO analisar todas as tabelas

%Ao fim deste artigo, intervalos obtidos pelo m\'etodo intervalar proposto foram comparados aos resultados do software SHARPE \cite{trivedi}. Portanto,  buscou-se mostrar que os intervalos autovalid\'aveis, obtidos neste trabalho, para a confiabilidade de sistemas complexos encapsulam valores calculados pelo aplicativo e apresentam-se com exatid\~ao superior aos mesmos valores.

Todos os c\'alculos apresentados neste artigo foram executados na seguinte plataforma computacional:
\begin{itemize}
\item Processador: Celeron(R) Dual-Core CPU T3000 1.80 GHz;
\item Mem\'oria RAM: 2.00 GB;
\item Sistema Operacional: Windows 7 Starter.
\end{itemize}

Este artigo est\'a organizado da seguinte forma. A Se\c c\~ao 2 apresenta m\'etodo intervalar autovalid\'avel para a confiabilidade real de sistemas de componente \'unico. A Se\c c\~ao 3 mostra intervalos encapsuladores para a confiabilidade de sistemas complexos. Na Se\c c\~ao 4 \'e realizada a valida\c c\~ao da confiabilidade autovalid\'avel proposta com o aplicativo SHARPE. A Se\c c\~ao 5 trata das conclus\~oes. Por fim, est\~ao as principais refer\^encias.

%********************************************************
\newsec{Confiabilidade Autovalid\'avel para Sistemas de \'Unico Componente}

A modelagem probabil\'istica da confiabilidade \'e realizada tendo como base uma vari\'avel aleat\'oria cont\'inua n\~ao negativa $T$, que representa a dura\c c\~ao de tempo at\'e a primeira falha de um determinado sistema. De acordo com Kuo e Zuo \cite{kuo}, a confiabilidade \'e definida como a probabilidade de um equipamento operar satisfatoriamente por um per\'iodo de tempo dentro de condi\c c\~oes previamente especificadas.

%Segundo Ebeling \cite {ebeling:97}, tr\^es aspectos devem ser levados em conta quando a confiabilidade de um sistema  \'e analisada. Primeiro, uma defini\c c\~ao n\~ao amb\'igua das poss\'iveis falhas do sistema deve ser feita. Em segundo lugar, a unidade de tempo deve ser identificada. Esta pode ser dada em horas, dias ou ciclos de opera\c c\~ao do sistema. Para um sistema automotivo, por exemplo, a unidade de medida poderia ser ciclos de opera\c c\~ao, representados pela ativa\c c\~ao da igni\c c\~ao do motor. Por \'ultimo, recomenda-se que o sistema seja observado em condi\c c\~oes de funcionamento naturais, sujeito a condi\c c\~oes f\'isicas reais. A observa\c c\~ao do sistema em condi\c c\~oes manipuladas pode gerar dados de confiabilidade viciados.

Seja $S$ um sistema de \'unico componente em opera\c c\~ao pelo per\'iodo $[0,t]$. Ent\~ao, a fun\c c\~ao confiabilidade real de $S$, no instante de tempo $t$, \'e dada por:

\begin{eqnarray}\label{equacaoConfiabilidade}
R(t) = P(T\ge t). 
\end{eqnarray}

Seja $f_{T}(t)$ a fun\c c\~ao densidade de probabilidade da vari\'	avel $T$, ent\~ao  (\ref{equacaoConfiabilidade}) pode ser reescrita como:

\begin{eqnarray}\label{equacaoConf}
R(t) = \int_{t}^{+\infty}f_{T}(t)dt = 1 - \int_{0}^{t}f_{T}(t)dt.
\end{eqnarray}

O intervalo encapsulador autovalid\'avel para a fun\c c\~ao confiabilidade real \'e obtido com base no M\'etodo de Simpson Intervalar. Segundo Caprani et al. \cite{caprani}, esse m\'etodo \'e utilizado para o c\'alculo de intervalos de integrais definidas, sendo apropriado para a obten\c c\~ao de intervalos para probabilidades de vari\'aveis aleat\'orias cont\'inuas. Assim, o m\'etodo \'e empregado para o c\'alculo de intervalos que encapsulam o valor de \linebreak $\int_{0}^{t}f_{T}(t)dt = P(0 < T < t)$. Dessa forma, tem-se que:

\begin{displaymath}\label{equacaoConfiabilidade1}
\int_{0}^{t}f_{T}(t)dt \in P_{v}([0,t]),
\end{displaymath}

\begin{noindent}onde $P_{v}([0,t])$ \'e a denota\c c\~ao do intervalo encapsulador para \linebreak $P(0 < T < t) = \int_{0}^{t}f_{T}(t)dt$.
\end{noindent}

%TO DO santos ref

Com base em Santos \cite{santos}, neste trabalho foi realizada a implementa\c c\~ao, fundamentada no M\'etodo de Simpson Intervalar, de m\'etodo intervalar para o c\'alculo de intervalos para probabilidades de vari\'aveis aleat\'orias com distribui\c c\~ao Exponencial. A implementa\c c\~ao foi dada por uma fun\c c\~ao desenvolvida em Matlab, utilizando a biblioteca IntLab, sendo sua chamada dada por:

\begin{displaymath}
exp1(a,b,\alpha,p).
\end{displaymath}

Portanto, $exp1(a,b,p,\alpha)$ \'e a fun\c c\~ao desenvolvida para o c\'alculo de $P_{v}([a,b])$. Verifica-se que $\alpha$ \'e o par\^ametro da distribui\c c\~ao Exponencial e os valores de $a$ e $b$ s\~ao limites de integra\c c\~ao inferior e superior, respectivamente. Dessa forma, tem-se que:

\begin{displaymath}
\int_{a}^{b}f_{T}(t)dt = \int_{a}^{b}\alpha e^{-t \alpha}dt \in exp1(a,b,\alpha,p).
\end{displaymath}

O valor de $p$ \'e um n\'umero inteiro positivo que representa o n\'umero de divis\~oes do intervalo $[a,b]$, particionamento esse necess\'ario para a aplica\c c\~ao do M\'etodo de Simpson Intervalar.  Segundo Caprani et al. \cite{caprani}, quanto maior o valor de $p$, menor ser\'a a amplitude do intervalo resultante do m\'etodo.



%\begin{propTEMAp}\label{proposicaoSinistra} Sejam os n\'umeros reais $x$ e $y$ e os intervalos $X$ e $Y$. Ent\~ao, $x \in X$ e $y \in Y \Rightarrow x \ast y \in X \ast Y, \ast \in \{+,-,\cdot,/\}$ .
%\begin{proof}Com rela\c c\~ao \`as opera\c c\~oes sobre o espa\c co dos intervalos,  Moore et al. \cite{mooreIntroducao} afirmam que:
%
%\begin{eqnarray}\label{mooreDefOperacao}X \ast Y = \{x \ast y | x \in X, y \in Y \}, \ast \in \{+,-,\cdot,/\}.
%\end{eqnarray}
%
%De acordo com a Equa\c c\~ao \ref{mooreDefOperacao}, uma vez que $x \in X$ e $y \in Y$, tem-se que o valor real $x \ast y$ tamb\'em pertencer\'a ao intervalo $X \ast Y$. Portanto, pode-se afirmar que
%
%\begin{displaymath} x \ast y \in X \ast Y.
%\end{displaymath}
%
%\end{proof}
%\end{propTEMAp}

Nesse trabalho, define-se o intervalo encapsulador para a fun\c c\~ao confiabilidade real, isto \'e, {\bf confiabilidade autovalid\'avel} denotada por $R_{v}(t)$. Assim, tem-se que:

\begin{eqnarray}
R_{v}(t) = [1,1] - P_{v}([0,t]),
\end{eqnarray}

\begin{noindent} onde $[1,1]$ \'e o intervalo degenerado \cite{moore:09} do n\'umero real $1$.
\end{noindent}

Sejam os n\'umeros reais $x$ e $y$ e os intervalos $X$ e $Y$. Com rela\c c\~ao \`as opera\c c\~oes sobre o espa\c co dos intervalos,  Moore et al. \cite{moore:09} afirmam que: 

\begin{eqnarray}\label{mooreDefOperacao}X \ast Y = \{x \ast y | x \in X, y \in Y \}, \ast \in \{+,-,\cdot,/\}.
\end{eqnarray}

De acordo com (\ref{mooreDefOperacao}), uma vez que $x \in X$ e $y \in Y$, tem-se que o valor real $x \ast y$ tamb\'em pertencer\'a ao intervalo $X \ast Y$. Portanto, pode-se afirmar que

\begin{eqnarray}\label{mooree} x \ast y \in X \ast Y.
\end{eqnarray}




Com base em (\ref{mooree}), pode-se provar que $R_{v}(t)$ realmente encapsula $R(t)$, ou seja, $R(t) \in R_{v}(t)$. 

%Fundamentado na Proposi\c c\~ao \ref{proposicaoSinistra}, pode-se demonstrar que $R(t) \in R_{v}(t)$.

\begin{propTEMAp} Seja a vari\'avel aleat\'oria cont\'inua $T$, que representa o tempo para falha de um determinado sistema, e sua fun\c c\~ao confiabilidade real dada por \newline $R(t) = 1 - P( 0 < T < t)$. Ent\~ao, $R(t) \in R_{v}(t)$.

\begin{proof} Sabe-se que a confiabilidade autovalid\'avel \'e dada por \linebreak $R_{v}(t) = [1,1] - P_{v}([0,t])$. Assim, tem-se que:

\begin{displaymath} 1 \in [1,1] 
\end{displaymath}

\begin{noindent}e
\end{noindent}

\begin{displaymath} P( 0 < T < t) \in P_{v}([0,t]).
\end{displaymath}

Dessa forma, com base em (\ref{mooree}), tem-se que:

\begin{displaymath} 1 - P ( 0 < T < t) \in  [1,1] -  P_{v}([0,t]) \Rightarrow R(t) \in R_{v}([0,t]).
\end{displaymath}

\end{proof}
\end{propTEMAp}

Utilizando a biblioteca IntLab, este artigo apresenta a implementa\c c\~ao de m\'etodo intervalar  para a obten\c c\~ao da confiabilidade autovalid\'avel de sistema de componente \'unico com processo de falhas distribu\'ido exponencialmente. Assim, esse m\'etodo intervalar \'e dado por:

\begin{displaymath}
confexp(t,p,\alpha) = [1,1] - exp1(0,t,p,\alpha).
\end{displaymath}

Para fins de exemplifica\c c\~ao do m\'etodo intervalar autovalid\'avel desenvolvido para a fun\c c\~ao confiabilidade real, considere o sistema $S$ de componente \'unico  com lei de falhas Exponencial de par\^ametro $\alpha = 0.001$. O valor da confiabilidade real desse sistema, ap\'os um  per\'iodo de opera\c c\~ao de $50000$ horas, \'e dado por:

\begin{displaymath}
R(50000) = 1 - \int_{0}^{50000}0.001 e^{-t 0.001}dt  \approx 0.
\end{displaymath}

Portanto, $R(50000)$ \'e t\~ao pr\'oximo a zero que, quando os c\'alculos s\~ao na plataforma computacional previamente especificada, o seu valor \'e arredondado para zero. Entretanto, a utiliza\c c\~ao do m\'etodo intervalar proposto, quando aplicado para o c\'alculo da confiabilidade autovalid\'avel $R_{v}(50000)$ relacionada ao sistema $S$, resulta num intervalo que cont\'em o n\'umero zero. Assim, tem-se que:

\begin{eqnarray}
R_{v}(50000)& =& [1,1] - P_{v}([0,50000]) \nonumber \\
& = & confexp(50000,5000,0.001) \nonumber \\
& = & [1,1] - exp1(0,50000,0.001,5000) \nonumber \\
& = & 10^{-12} \times  [  -0.59241500593999,   0.20317081350641]. \nonumber
\end{eqnarray}


Observa-se que o intervalo obtido encapsula o valor de $R(50000)$ e  possui uma amplitude de $7.955858194464000 \times 10^{-13}$, garantindo exatid\~ao no controle de erros num\'ericos. Assim, pode-se garantir que o valor da confiabilidade real em quest\~ao pertence ao intervalo calculado. Nesse caso, se o m\'etodo intervalar proposto n\~ao fosse empregado, qualquer multiplica\c c\~ao  que envolvesse $R(50000)$ resultaria no n\'umero zero, inviabilizando demais c\'alculos.

Ainda com rela\c c\~ao ao sistema $S$, a Tabela 1 apresenta  intervalos obtidos para encapsular o valor de $R(50000)$, calculados a partir de uma varia\c c\~ao do valor do par\^ametro $p$. Pode-se constatar que, uma vez que o valor de $p$ cresce, a amplitude do intervalo encapsulador para a confiabilidade real em quest\~ao diminui. Portanto, a escolha de valores elevados para $p$ garante menor amplitude\footnote{Seja o intervalo $[a,b]$. A amplitude de $[a,b]$ \'e dada por $w([a,b]) = | b - a |$.}, denotada por $w$, aos intervalos resultantes.

%\begin{table}[htb]
%\centering
%
%%TO DO vezes casa decimais ponto ponto
%
%\caption{Comparativo de intervalos  autovalid\'aveis e respectivas amplitudes para diferentes valores de $p$}
%\label{tabelaconfexp}
%\begin{tabular}{|r|r|l|}
%\hline
%{\bf p }  & {\bf Confiabilidade autovalid\'avel \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } & {\bf \ \ Amplitude de intervalo} \\
%\hline
%$50$ &$10^{-3}  \times [  -0.13507748932207,   0.21214473290843]$  &$3.472222222305000 \times 10^{-4}$\\
%\hline
%$100$& $10^{-5} \times [  -0.48146918685266,   0.60360025926354]$  & $1.085069446116200 \times 10^{-5}$\\
%\hline
%$1000$ & $10^{-10} \times [  -0.53756554763141,   0.54905635593628]$  & $1.086621903567690 \times 10^{-10}$\\
%\hline
%$5000$ & $10^{-12} \times  [  -0.59241500593999,   0.20317081350641]$  & $7.955858194464000 \times 10^{-13}$\\
%\hline
%\end{tabular}
%
%\end{table}

\begin{table}[htb]
\centering

%TO DO vezes casa decimais ponto ponto

%\caption{Comparativo de intervalos  autovalid\'aveis e respectivas amplitudes para diferentes valores de $p$}
%\label{tabelaconfexp}
%\begin{tabular}{|r|r|l|}
%\hline
%{ $p$ }  & {$R_{v}(5000)$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \  \  } & { \ \ \ \ \  \ \ \ \ \   $w(R_{v}(5000))$} \\
%\hline
%$50$ &$10^{-3}  \times [  -0.13507748932207,   0.21214473290843]$  &$3.472222222305000 \times 10^{-4}$\\
%\hline
%$100$& $10^{-5} \times [  -0.48146918685266,   0.60360025926354]$  & $1.085069446116200 \times 10^{-5}$\\
%\hline
%$1000$ & $10^{-10} \times [  -0.53756554763141,   0.54905635593628]$  & $1.086621903567690 \times 10^{-10}$\\
%\hline
%$5000$ & $10^{-12} \times  [  -0.59241500593999,   0.20317081350641]$  & $7.955858194464000 \times 10^{-13}$\\
%\hline
%\end{tabular}
%
%\end{table}

\caption{Comparativo de intervalos  autovalid\'aveis e respectivas amplitudes para diferentes valores de $p$}
\label{tabelaconfexp}
\begin{tabular}{|r|r|l|}
\hline
{ $p$ }  & {$R_{v}(5000)$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \ \  \  } & {    $w(R_{v}(5000))$} \\
\hline
$50$ &$10^{-3}  \times [  -0.13507748932207,   0.21214473290843]$  &$ < 3.5 \times 10^{-4}$\\
\hline
$100$& $10^{-5} \times [  -0.48146918685266,   0.60360025926354]$  & $ < 1.1 \times 10^{-5}$\\
\hline
$1000$ & $10^{-10} \times [  -0.53756554763141,   0.54905635593628]$  & $ < 1.1 \times 10^{-10}$\\
\hline
$5000$ & $10^{-12} \times  [  -0.59241500593999,   0.20317081350641]$  & $ < 8.0 \times 10^{-13}$\\
\hline
\end{tabular}

\end{table}


\newsec{Intervalos Autovalid\'aveis para Sistemas Complexos}

Sistemas complexos ou compostos \cite{ebeling} podem ser convenientemente representados como uma "caixa preta" que possui dois conjuntos de terminais acess\'iveis, os quais comp\~oem as entradas e sa\'idas do sistema. Esses sistemas s\~ao formados por um conjunto de componentes que atuam juntos para realizar uma determinada fun\c c\~ao, a qual n\~ao seria poss\'ivel realizar com quaisquer partes individuais isoladas. 

Neste trabalho, assume-se que um componente pode apresentar apenas dois estados: operacional e indispon\'ivel. Nesse \'ultimo estado, considera-se que o componente possui no m\'inimo uma falha que comprometa o seu funcionamento correto.

Dessa forma,  a an\'alise da confiabilidade de sistemas complexos \cite{kuo,ebeling} envolve o c\'alculo da fun\c c\~ao confiabilidade real para cada um de seus componentes. Em seguida, os valores reais obtidos s\~ao combinados de acordo com a configura\c c\~ao dos componentes, resultando no valor da confiabilidade real referente ao sistema complexo como um todo. 

As seguintes configura\c c\~oes ser\~ao abordadas neste artigo: {\bf s\'erie} e {\bf paralelo}. Nesta se\c c\~ao, considerando essas duas configura\c c\~oes, ser\~ao definidos intervalos autovalid\'aveis.

\begin{figure}[h]
\centering %
\subfigure[Representa\c c\~ao da configura\c c\~ao s\'erie]{\scalebox{1}{\includegraphics[width=0.32\linewidth]{configuracaoSerie.png}} } %
\hspace{1cm}  %
\subfigure[Representa\c c\~ao da configura\c c\~ao paralelo]{\scalebox{1}{\includegraphics[width=0.32\linewidth]{configuracaoParalelo.png}} } %
\caption{Configura\c c\~oes l\'ogicas de sistemas complexos} %
\label{fig3}
\end{figure}

%TO DO colocar ref

%Neste tipo de arranjo em s\'erie \cite{kuo,trivedi,ebeling}, os componentes est\~ao conectados logicamente um seguido do outro, como se observa na Figura \ref{figuraSistemasCompostosSerie}.  Ent\~ao, para que um sistema complexo formado por componentes em s\'erie falhe, basta que apenas um de seus componentes individuais esteja indispon\'ivel.

%\begin{figure}[!htb]
%\centering
%\includegraphics[width=0.30\linewidth]{configuracaoSerie.png}
%\caption{Representa\c c\~ao da configura\c c\~ao s\'erie}
%\label{figuraSistemasCompostosSerie}
%\end{figure}

%\begin{figure}[!htb]
%\centering
%\includegraphics[width=0.30\linewidth]{fig1.eps}
%\caption{Representa\c c\~ao da configura\c c\~ao s\'erie}
%\label{figuraSistemasCompostosSerie}
%\end{figure}

A Figura 1(a) indica que o sistema complexo com componentes em s\'erie apresenta apenas um caminho cr\'itico. Seja $L$ o sistema complexo formado por $n$ componentes em s\'erie. Assim, considerando que os processos de falhas dos componentes  de $L$ s\~ao  independentes, pode-se afirmar que a fun\c c\~ao confiabilidade real de $L$ \'e dada por:

%Ou seja, caso $L$ possua dois componentes, se apenas um deles falhar $L$ tamb\'em falhar\'a.

%Seja $E_{i}$ o evento do i-\'esimo componente n\~ao apresentar falhas durante um intervalo de tempo $t$. Assim, tem-se que:

%\begin{displaymath}
%P(E_{i}) = R_{i}(t),
%\end{displaymath}

%\begin{noindent}onde $R_{i}(t)$ \'e a fun\c c\~ao confiabilidade do i-\'esimo componente do sistema $L$.\end{noindent}


%Assumindo que os eventos $E_{i}$ s\~ao independentes \cite{meyer}, (\ref{equacaoSistemasCompostosSerieEventos}) pode ser simplificada e representada da seguinte forma:

\begin{eqnarray}
R(t) = R_{1}(t) \times R_{2}(t) \times \cdots \times R_{n}(t) = \prod_{i=1}^{n} R_{i}(t),
\end{eqnarray}

\begin{noindent}onde $R_{i}(t)$ \'e a fun\c c\~ao confiabilidade real do i-\'esimo componente do sistema $L$.\end{noindent}

Este artigo prop\~oe que a confiabilidade autovalid\'avel para o sistema $L$ seja dada pela multiplica\c c\~ao dos intervalos encapsuladores da confiabilidade de cada componente. Assim, tem-se que:

\begin{eqnarray}\label{eq}
R_{v}(t) = \prod_{i=1}^{n}R_{(i) v}(t),
\end{eqnarray}

\begin{noindent}onde $R_{(i) v}(t)$ \'e a confiabilidade autovalid\'avel para o i-\'esimo componente de $L$.
\end{noindent}

Para fins de exemplifica\c c\~ao da Equa\c c\~ao Intervalar \ref{eq} proposta neste trabalho, considere $K$ um sistema com dois componentes conectados em s\'erie. Suponha que os componentes de $K$ possuem processos de falhas exponencialmente distribu\'idos com par\^ametros $\alpha_{1} = 0.05$ e $\alpha_{2} = 0.1$, respectivamente. Tendo em vista que os componentes de $K$ possuem lei de falhas com distribui\c c\~ao Exponencial, a fun\c c\~ao $confexp(t,p,\alpha)$ pode ser utilizada.  A Tabela 2 apresenta as confiabilidades autovalid\'aveis comparadas com respectivos valores reais da fun\c c\~ao confiabilidade.


\begin{table}[htb]\label{tab}
\centering
%TO DO ver caption
%TO ver ordem de numeros 1 direita, 2 esquerda, 3 direira
\caption{Comparativo de valores reais da fun\c c\~ao confiabilidade de $K$ e respectivas confiabilidades autovalid\'aveis para diferentes valores de $t$}
\label{tabelaconfexp}
\begin{tabular}{|r|l|r|}
\hline
{$t$}  & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  $R(t)$} & {\bf $R_{v}(t)$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  } \\
\hline
$1$ &$0.860707976425058$  &$[0.86070797642505,   0.86070797642506]$  \\
\hline
$5$& $0.472366552741015$  & $[0.47236655274101,   0.47236655274102]$ \\
\hline
%$T_{med}$& $\frac{1}{\alpha}$  & {\it $mttfIntervalExp(\alpha,max,sub,p)$}\\
$50$ & $5.530843701478346 \times 10^{-4}$  & $10^{-3} \times [0.55308437000912,   0.55308437028808]$\\
\hline
$500$ & $0$  & $10^{-15} \times [-0.91969138664420,   0.97831376278642]$\\
\hline
\end{tabular}

\end{table}

%Ent\~ao, o valor da fun\c c\~ao confiabilidade, considerando o instante $t = 5$, ser\'a comparado com seu respectivo intervalo encapsulador.\newline
%
%$R(5) = 0.472366552741015$\newline
%\begin{indent}$R_{v}(5) = confexp(5,200,0.05) \times confexp(5,200,0.1) $\end{indent}\newline
%\begin{indent}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \{ 1 - exp1(0,5,0.05,200) \} \times \{ 1 - exp1(0,5,0.1,200) \}$\end{indent}\newline
%\begin{indent}$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = [   0.47236655274101,   0.47236655274102]$\end{indent}\newline

Pode-se verificar que, por exemplo, para $t = 500$, o valor real da fun\c c\~ao confiabilidade se aproxima de zero, sendo arredondado para este valor. Para esse caso, o intervalo obtido encapsula o n\'umero zero.



A configura\c c\~ao paralela \cite{kuo,ebeling}, tamb\'em denominada redundante, implica que o sistema com esta configura\c c\~ao falha apenas se todos os seus componentes se apresentarem em estado n\~ao operacional. A Figura 1(b) ilustra esta configura\c c\~ao.


%\begin{figure}[!htb]
%\centering
%\includegraphics[width=0.18\linewidth]{configuracaoParalelo.png}
%\caption{Representa\c c\~ao da configura\c c\~ao paralelo ou redundante}
%\label{figuraSistemasCompostosParalelo}
%\end{figure}

%A Figura 1(b) indica que existem $n$ caminhos cr\'iticos na configura\c c\~ao redundante ilustrada.
Seja o sistema complexo $L$ composto por $n$ componentes redundantes. Dessa forma, a fun\c c\~ao confiabilidade real de $L$ \'e representada da seguinte forma:

\begin{eqnarray}\label{equacaoSistemasCompostosParaleloConfiabilidade}
R(t) = 1 - \prod_{i=1}^{n} [1 - R_{(i)}(t)],
\end{eqnarray}

\begin{noindent}onde $R_{i}(t)$ \'e a fun\c c\~ao confiabilidade real do i-\'esimo componente do sistema $L$.\end{noindent}

Fundamentado em (\ref{equacaoSistemasCompostosParaleloConfiabilidade}), este artigo define a confiabilidade autovalid\'avel do sistema $L$, sendo denotada por:

\begin{eqnarray}\label{qeee}
R_{v}(t) = 1 - \prod_{i=1}^{n} [[1,1] - R_{(i) v}(t)],
\end{eqnarray}

\begin{noindent}onde $R_{(i) v}(t)$ \'e a confiabilidade autovalid\'avel para o i-\'esimo componente de $L$.
\end{noindent}

Seja o sistema $J$ formado por dois componentes em paralelo com processos de falhas distribu\'idos exponencialmente com par\^ametros $\alpha_{1} = 0.05$ e $\alpha_{2} = 0.1$. A Tabela 3  apresenta a compara\c c\~ao da confiabilidade autovalid\'avel com respectivos valores reais da fun\c c\~ao confiabilidade, considerando valores diferentes de tempo.

\begin{table}[htb]\label{tab4}
\centering

\caption{Comparativo de valores reais da fun\c c\~ao confiabilidade de $J$ e respectivas confiabilidades autovalid\'aveis para diferentes valores de $t$}
\label{tabelaconfexp}
\begin{tabular}{|r|l|r|}
\hline
{$t$}  & {\bf $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R(t)$} & {\bf $R_{v}(t) \ \ \  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $} \\
\hline
$1$ &$0.995358866111616$  &$[0.995358866111610,   0.995358866111620]$  \\
\hline
%$T_{med}$& $\frac{1}{\alpha}$  & {\it $mttfIntervalExp(\alpha,max,sub,p)$}\\
$50$ & $0.882698612528370 \times 10^{-1}$  & $10^{-1} \times [0.882698612512300,   0.882698612544600] $\\
\hline
$500$ & $1.388789083733855 \times 10^{-11}$  & $10^{-6} \times [-0.16510096512157,   0.18457967421171]$\\
\hline
$1000$ & $0$  & $10^{-5} \times [-0.49746590644606,   0.62151193418459]$\\
\hline
\end{tabular}

\end{table}

\newsec{Valida\c c\~ao da Confiabilidade Autovalid\'avel para Sistemas Complexos}


Esta se\c c\~ao tem por objetivo validar a confiabilidade autovalid\'avel proposta neste trabalho para sistemas complexos. Desta forma, o aplicativo SHARPE\footnote{Os resultados obtidos pelo software SHARPE possuem apenas 9 d\'igitos decimais, enquanto os limites dos intervalos calculados possuem 16 d\'igitos decimais.} \cite{trivedi,trivedi1} foi empregado para que valores reais de confiabilidade fossem gerados e comparados com os respectivos intervalos encapsuladores obtidos. Essa an\'alise foi realizada utilizando dois estudos de casos, em que sistemas complexos foram modelados no aplicativo SHARPE.

%Dessa forma, este trabalho busca mostrar que a confiabilidade autovalid\'avel proposta encapsula os valores calculados pelo aplicativo e apresenta-se com exatid\~ao superior aos mesmos valores.

%Nesta se\c c\~ao, utilizou-se o software SHARPE para o c\'alculo da fun\c c\~ao confiabilidade para dois casos de estudo, em que sistemas complexos foram modelados na aplica\c c\~ao.

 %Em seguida, o m\'etodo intervalar proposto neste trabalho foi aplicado aos sistemas complexos, de forma a comparar os intervalos obtidos e os valores calculados pelo aplicativo. N\~ao foi poss\'ivel comparar o tempo de processamento do m\'etodo intervalar proposto neste artigo ao tempo de processamento do c\'alculo de valores de fun\c c\~ao confiabilidade na aplica\c c\~ao SHARPE, visto que o software n\~ao fornece esses dados.

\subsection{Caso 1}

Seja $L$ o sistema representado na Figura 2 composto por dois subsistemas em s\'erie: $L_{1}$ (formado unicamente pelo componente block0) e $L_{2}$ (formado pelos componentes block1 e block2 em configura\c c\~ao paralela). Considere que todos os blocos de $L$ possuem distribui\c c\~ao de falhas Exponencial com par\^ametros $\alpha_{1} = 0.05$, $\alpha_{2} = 0.04$ e $\alpha_{3} = 0.04$, respectivamente. O valor real da fun\c c\~ao confiabilidade para $L$, considerando tempo de observa\c c\~ao $t = 20$, foi calculado pelo software SHARPE e comparado com respectivo intervalo encapsulador. \newline

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=0.35\linewidth]{caso1_mestrado.jpg}
\caption{Representa\c c\~ao, gerada pelo software SHARPE, de sistema analisado no Caso 1.}
\label{figuraSistemasCompostosValidacao1}
\end{figure}

%{ \bf Subsistema $L_{1}$}
%
% $R_{L_{1}}(20) = 0.367879441$
%
%$R_{L_{1_{v}}}(20) = confexp(20,200,0.05)$ 
%
%{\hspace{1.76cm}= $[0.36787944117143, 0.36787944117145]$}
%
%{ \bf Subsistema $L_{2}$}
%
% $R_{L_{2}}(20) = 0.696761410$
%
%$R_{L_{2_{v}}}(20) = 1 - [ ( 1 - confexp(20,200,0.04) ) \times ( 1 - confexp(20,200,0.04) ) ] $ 
%
%{\hspace{1.76cm}= $[0.69676141023978,   0.69676141023980]$}

\newpage

{ \bf Sistema $L$}

% $R(20) = R_{L_{1}}(20) \times R_{L_{2}}(20) =  0.256324198$
$R(20) = 0.256324198$

%$R_{v}(20) =R_{L_{1_{v}}}(20) \times R_{L_{2_{v}}}(20) $ 

$R_{v}(20) = [0.25632419822883,   0.25632419822885] $\newline
% {\hspace{1.36cm}= $[0.25632419822883,   0.25632419822885]$}\newline


%Observa-se que a confiabilidade autovalid\'avel $R_{v}(20)$ apresenta exatid\~ao superior ao valor calculado pelo software SHARPE. Assim, os limites de $R_{v}(20)$ possuem as mesmas casas decimais do valor $R(20)$, al\'em de 5 d\'igitos decimais adicionais que garantem exatid\~ao ao intervalo calculado.

Observa-se que os limites de $R_{v}(20)$ possuem as mesmas casas decimais do valor $R(20)$, al\'em de 5 d\'igitos decimais adicionais que garantem exatid\~ao ao intervalo calculado.

O valor de $R_{v}(20)$ foi obtido aplicando-se $p = 200$, resultando numa amplitude relativa \`a confiabilidade autovalid\'avel igual a $1.998401444325282 \times 10^{-14}$. Entretanto, existe um custo computacional ao elevarmos o valor de $p$ com o objetivo de reduzir a amplitude do intervalo autovalid\'avel. De fato, tem-se que para $p = 200$, o tempo de processamento\footnote{N\~ao foi poss\'ivel comparar o tempo de processamento do m\'etodo intervalar proposto neste artigo ao tempo de processamento do c\'alculo de valores de fun\c c\~ao confiabilidade na aplica\c c\~ao SHARPE, visto que o software n\~ao fornece esses dados.} para o c\'alculo de $R_{v}(20)$ \'e dado por 32.459540 segundos. A Tabela 4 apresenta um comparativo, variando-se o valor de $p$, entre a amplitude da confiabilidade autovalid\'avel e o tempo de processamento para o c\'alculo do intervalo encapsulador $R_{v}(20)$.

\begin{table}[htb]\label{tab}
\centering

\caption{Comparativo entre a amplitude dos intervalos obtidos para o sistema $L$ e tempo de c\'alculo do intervalo autovalid\'avel, considerando varia\c c\~ao do par\^ametro $p$.}
\label{tabelaconfexp}
\begin{tabular}{|r|c|c|}
\hline
{$p$}  & {\bf Amplitude} & {\bf Tempo (segundos)} \\
\hline
%$5$ &$5.706067995880915 \times 10^{-8}$  &$0.805165$  \\
%\hline
$6$& $2.293140999309884 \times 10^{-8}$  & $1.030534$ \\
\hline
%$T_{med}$& $\frac{1}{\alpha}$  & {\it $mttfIntervalExp(\alpha,max,sub,p)$}\\
$7$ & $1.060956000831226 \times 10^{-8}$  & $1.181863 $\\
\hline
$8$ & $5.441740003053752 \times 10^{-9}$  & $1.317986$\\
\hline
$9$ & $3.019780037138986 \times 10^{-9}$  & $ 1.551662$\\
\hline
$10$ & $1.783159953028246 \times 10^{-9}$  & $1.603063$\\
\hline
\end{tabular}

\end{table}

A Figura 3 ilustra que quanto mais eleva-se o valor de $p$, menor \'e a amplitude da confiabilidade autovalid\'avel, incorrendo em um custo computacional maior.

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=1.00\linewidth]{caso1.png}
\caption{Custo computacional da exatid\~ao para o Caso 1.}
\label{figuraSistemasCompostosValidacao1}
\end{figure}


\subsection{Caso 2}

Seja $W$ o sistema representado na Figura \ref{figuraSistemasCompostosValidacao3}, composto por tr\^es subsistemas: $W_{1}$ (formado pelos componentes block0 e block4), $W_{2}$ (formado pelos componentes block2 e block3) e $W_{3}$ (formado pelos componentes block1 e block5). Considere que todos os blocos de $W_{1}$ e $W_{2}$ possuem distribui\c c\~ao de falhas Exponencial com par\^ametros $\alpha = 0.002$ e que os componentes de $W_{3}$ possuem distribui\c c\~ao de falhas Exponencial com par\^ametro $\alpha = 0.001$ . Ent\~ao, o valor real da fun\c c\~ao confiabilidade de $W$ foi calculado no aplicativo SHARPE, considerando $t = 50$, e comparado com respectiva confiabilidade autovalid\'avel.\newline

\begin{figure}[!htb]
\centering
\includegraphics[width=0.60\linewidth]{figuraExemplo3.jpg}
\caption{Representa\c c\~ao, gerada pelo software SHARPE, de sistema analisado no Caso 2.}
\label{figuraSistemasCompostosValidacao3}
\end{figure}

%{ \bf Subsistemas $W_{1}$ e $W_{2}$}
%
%Como $W_{1}$ e $W_{2}$ s\~ao id\^enticos, ser\'a apresentada apenas a confiabilidade de $W_{1}$.
%
% $R_{W_{1}}(50) = 0.818730753$
%
%$R_{W_{1_{v}}}(50) =  confexp(50,200,0.002) \times confexp(50,200,0.002) $ 
%
%{\hspace{1.85cm}= [0.81873075307798,   0.81873075307799] }
%
%{ \bf Subsistema $W_{3}$}
%
% $R_{W_{3}}(50) = 0.904837418$
%
%$R_{W_{3_{v}}}(50) =  confexp(50,200,0.001) \times confexp(50,200,0.001) $ 
%
%{\hspace{1.85cm}= [0.90483741803595,   0.90483741803597] }

\newpage

{ \bf Sistema $W$}

 $R(50) = 0.875105782$

%$R_{v}(50) = [1 - [ ( 1 - R_{W_{1_{v}}}(50) ) \times ( 1 - R_{W_{2_{v}}}(50) ) ] ] \times R_{W_{3_{v}}}(50)$ 

$R_{v}(50) = [0.87510578165080,   0.87510578165081]$\newline

%{\hspace{1.35cm}= [0.87510578165080,   0.87510578165081] }\newline

Considerando o sistema $W$, verifica-se que o valor de $R(50)$ calculado pelo software SHARPE apresenta arredondamento do \'ultimo d\'igito decimal. Assim, tendo em vista o intervalo $R_{v}(20)$, o erro computacional dado pela n\~ao utiliza\c c\~ao da confiabilidade  autovalid\'avel \'e dado por  $3.491950062439742 \times 10^{-10}$.

Assim como no Caso 1, foi utilizado o par\^ametro $p = 200$, resultando numa amplitude para a confiabilidade autovalid\'avel de $9.992007221626409 \times 10^{-15}$ e um tempo de processamento igual a 65.149825 segundos. Observa-se na Tabela 5 que, para valores de $p > 8$,  a amplitude da confiabilidade autovalid\'avel mant\'em o mesmo valor. Entretanto, apesar de  possuir a mesma exatid\~ao, o tempo de processamento para a obten\c c\~ao desses intervalos aumenta a medida que o valor de $p$ cresce.

\begin{table}[htb]\label{tab}
\centering
\caption{Comparativo entre amplitude de intervalos obtidos para o sistema $W$ e tempo de c\'alculo do intervalo autovalid\'avel, considerando varia\c c\~ao do par\^ametro $p$.}
\label{tabelaconfexp}
\begin{tabular}{|r|c|c|}
\hline
{$p$}  & {\bf Amplitude} & {\bf Tempo (segundos)} \\
\hline
%$5$ &$7.993605777301127 \times 10^{-14}$  &$2.790774$  \\
%\hline
$6$& $3.996802888650564 \times 10^{-14}$  & $3.458934$ \\
\hline
$7$ & $1.998401444325282 \times 10^{-14}$  & $4.090779 $\\
\hline
$8$ & $1.998401444325282 \times 10^{-14}$  & $4.561946$\\
\hline
$9$ & $9.992007221626409 \times 10^{-15}$  & $5.103061$\\
\hline
$10$ & $9.992007221626409 \times 10^{-15}$  & $5.552619$\\
\hline
%$11$ & $9.992007221626409 \times 10^{-15}$  & $6.199397$\\
%\hline
%$12$ & $9.992007221626409 \times 10^{-15}$  & $6.754819$\\
%\hline
\end{tabular}

\end{table}

\newsec{Conclus\~ao}
%TO DO ref
Esta artigo apresentou um arcabou\c co amplo de defini\c c\~oes de intervalos encapsuladores para a fun\c c\~ao confiabilidade real de sistemas complexos, limitando os erros computacionais inerentes aos c\'alculos de tais valores. Os intervalos foram obtidos utilizando exatid\~ao m\'axima no sistema de ponto-flutuante implementado na m\'aquina computacional.

Com base no conte\'udo deste trabalho, pode-se afirmar que a confiabilidade autovalid\'avel proposta \'e uma alternativa para a representa\c c\~ao de valores reais da fun\c c\~ao confiabilidade de sistemas, tendo em vista que os intervalos obtidos apresentaram-se mais exatos que os resultados calculados pelo aplicativo SHARPE. As equa\c c\~oes intervalares (2.4), (3.6) e (3.8) s\~ao contribui\c c\~oes originais desse trabalho.


%O trabalho aqui proposto foi fundamentado em conceitos da matem\'atica intervalar e aritm\'etica de exatid\~ao m\'axima, propostos por Moore \cite{moore2,moore3,moore4,moore:09} e Caprani et al. \cite{caprani}. O primeiro passo foi a defini\c c\~ao  de intervalos encapsuladores para probabilidades reais, utilizando o M\'etodo de Simpson Intervalar, com distribui\c c\~ao Exponencial. Este trabalho apresentou m\'etodo intervalar para a obten\c c\~ao de intervalos para a fun\c c\~ao confiabilidade de sistemas de componente \'unico. Em seguida, foram propostas equa\c c\~oes intervalares para o c\'alculo da confiabilidade autovalid\'avel de sistemas complexos com componentes em configura\c c\~ao em s\'erie e em paralelo.
%
%Ao fim, o software SHARPE foi empregado para validar, por meio de dois casos em que sistemas complexos foram modelados, a confiabilidade autovalid\'avel proposta. Verificou-se que os intervalos obtidos apresentaram amplitudes que garantiam exatid\~ao na representa\c c\~ao da confiabilidade de sistemas complexos.

\begin{abstract}
{\bf Abstract}. Reliability computing results real numbers, which can generate numeric problems caused by the limitation of operating with real numbers in a discrete digital machine. This paper proposes a method, developed in Matlab using Intlab library, focused on calculating intervals that enclose real values of reliability, controlling numeric errors. The SHARPE software was used to compare real values and intervals obtained with the developed method.
\end{abstract}

\begin{thebibliography}{99}

%\bibitem{CLBG} C.S.Q. Caldas, J. Limaco, R.K. Barreto, P. Gamboa, About the
%Benjamin-Bona-Mahony equation in domains with moving boundary,
%{\em TEMA - Tend. Mat. Apl. Comput.}, {\bf 8}, No. 3 (2007), 329--339.

\bibitem {caprani} O. Caprani, K. Madsen, H. B. Nielsen, Introduction to Interval Analysis. Copenhagen: Technical University of Denmark, 2002.

\bibitem{ebeling} C. E. Ebeling, An Introduction to Reliability and Maintainability Engineering. Illinois: Waveland Press, 1997.

\bibitem {goldberg} B. V. Goldberg, What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic em ``ACM Computing Surveys``, New York, v. 23, n. 1, p. 153-230, 1991.

\bibitem{trivedi1} C. Hirel, X. Sahner, X. Zang, K. Trivedi, Reliability and Performability Modeling using SHARPE 2000. Dispon\'ivel em: $<$http://people.ee.duke.edu/~kst/$>$. Acesso em: 23  set.  2011.

\bibitem {IEEE} Institute of Electrical and Electronic Engineers. IEEE Standard for Binary Floating - Point Arithmetic em ``ACM GIGPLAN Notices``, New York,  v. 22, p. 5-48, 1987.

\bibitem {kulish} U. W. Kulisch, W. L. Miranker, Computer Arithmetic in Theory and Practice. New York: Academic Press, 1981.

\bibitem{kuo} W. Kuo, M. J. Zuo, Optimal Reliability Modeling: Principles and Applications. New Jersey: John Wiley \& Sons, Inc, 2003.

\bibitem{matlab} The MathWorks Inc. MATLAB 7.5. 2007. Dispon\'ivel em: $<$http://www.mathworks.com/products/matlab/$>$.

\bibitem{meyer:83} P. L. Meyer, Probabilidade Aplica\c c\~oes \`a Estat\'istica. 2. ed. Rio deJaneiro: Livros T\'ecnicos e Cient\'ificos, 1983.

\bibitem {moore3} R. E. Moore, Interval Analysis. New Jersey: Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, 1966.

\bibitem {moore2} R. E. Moore,  Interval Arithmetic and Automatic Error Analisys in Digital Computing. 1962. 134 f. Tese (Doutorado) - Applied Mathematics and  Statistics Laboratories, Stanford University, California, 1962.

\bibitem {moore4} R. E. Moore, Methods and Applications of Interval Analysis. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia, 1979.

\bibitem {moore:09} R. E. Moore, R. B. Kearfott, M. J. Cloud, Introduction to Interval Analysis. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia, 2009.

\bibitem {trivedi} R. Sahner, K.  S. Trivedi, A. Puliafito, Performance and Reliability of Computer Systems: An Example-Based Approach Using the SHARPE Software Package. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1996.

\bibitem {santos} M. G. Santos, Probabilidades Autovalid\'aveis para as Vari\'aveis Aleat\'orias Exponencial, Normal e Uniforme. 2010. 111 f.  Tese (Doutorado) - Centro de Inform\'atica, Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2010.

\bibitem{rump} S. M. Rump, INTLAB 5.5 - INTerval LABoratory. Dispon\'ivel em: $<$www.ti3.tu-harburg.de/rump/intlab/$>$. Acesso em: 10 dez. 2010.


\end{thebibliography}


\end{document}

$ \  \  $  \thispagestyle{myheadings}  \markboth{      }{   }
