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\documentclass{TEMA}

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\begin{document}

%********************************************************
\title
    {Distribuição bivariada gama beta II: soma, produto e proporção das variáveis componentes}

%\author
    %{A.P.M. SILVA%
%     \thanks{anapaula@ufsj.edu.br}\,,
%     Departamento de Ciências de Computação e Estatística,
%     IBILCE,
%     UNESP - Univ Estadual Paulista, 15054-000 São José do Rio Preto, SP, Brasil
%     \\ \\
%     J.A. RODRIGUES%
%     \thanks{jailsondearaujo@yahoo.com.br}\,,
%     Departamento de Ciências Exatas, DEX - UFLA,
%     Campus Universitário, Cx.P. 3037, 37200-000 Lavras, MG, Brasil
%     \\ \\
%     L.M. CHAVES%
%     \thanks{lucas@dex.ufla.br}\,,
%     Departamento de Ciências Exatas, DEX - UFLA,
%     Campus Universitário, Cx.P. 3037, 37200-000 Lavras, MG, Brasil.}

\criartitulo

\runningheads {}{}


\begin{abstract}
{\bf Resumo}. Os modelos bivariados tem sido utilizados com sucesso na análise de processos hidrológicos. Neste trabalho, são deduzidas as distribuições exatas
das variáveis $U = X + Y$, $P = XY$ e $Q = X/(X + Y)$ juntamente com seus respectivos momentos quando $X$ e $Y$ seguem o modelo bivariado gama beta II. Essas funções descrevem importantes variáveis hidrológicas. Os resultados obtidos são aplicados em dados de precipitações pluviométricas ocorridas
na cidade de Passo Fundo - RS.

{\bf Palavras-chave}. Distribuição gama beta II, Combinação de variáveis aleatórias, Precipitação pluviométrica.
\end{abstract}


%********************************************************
\newsec{Introdução}

Motivados pelo  crescente uso principalmente na análise de dados não normais, vários modelos  bivariados podem ser encontrados na literatura \cite{balak}. Os trabalhos desenvolvidos por \cite{iz} impulsionaram o uso da distribuição gama bivariada na análise de processos hidrológicos, sendo atualmente um dos mais utilizados. Por exemplo, \cite{y} estuda a aplicabilidade  da distribuição gama bivariada de Smith na análise de frequência das variáveis hidrológicas duração e volume; \cite{y1} apresentam uma revisão de vários modelos gama, com diferentes parâmetros de escala e forma, apontando as vantagens e desvantagens de cada modelo no estudo de precipitação; \cite{ng} estudam o comportamento de dados de seca do Estado de Nebraska considerando a distribuição gama bivariada de Cherian e \cite{ng1} realizam o mesmo estudo com a distribuição exponencial bivariada de Friday e Patil ; \cite{nadar_2007} aplica um modelo bivariado gama exponencial na modelagem de dados de seca.

Considerando que $X$ e $Y$ se distribuem segundo um modelo bivariado, funções dessas variáveis aleatórias, expressas por $U=X+Y$, $P=XY$ e $Q=X/(X+Y)$, têm um significado físico importante de modo que diferentes autores têm trabalhado no sentido de caracterizar essas distribuições e aplicá-las em diferentes áreas do conhecimento, em particular em hidrologia \cite{n2005,nk,gn,n2008} . Por exemplo, se $X$ representa o período de chuva e $Y$ o período contíguo sem ocorrência de chuva, $U=X+Y$ denota o período climático  e $Q=X/(X+Y)$ a proporção de chuva. Neste contexto, o trabalho têm por objetivo apresentar a distribuição bivariada Gama Beta tipo II e deduzir a distribuição exata das variáveis $U=X+Y$, $P=XY$ e $Q=X/(X+Y)$ sob a pressuposição de que $X$ e $Y$ seguem esse modelo. Como aplicação é realizado o ajuste dessas distribuições a dados de precipitação pluviométrica do município de Passo Fundo, RS.


\subsection{Distribuições beta}

\textbf{Distribuição beta tipo I}: Uma variável aleatória $X$ tem distribuição beta tipo I com parâmetros $\alpha>0$ e $\beta>0$ quando sua função densidade de probabilidade (fdp) é da forma:
\begin{equation}\label{beta1}
 \displaystyle f\left(x\right)=\frac{x^{\alpha-1}\left(1-x\right)^{\beta-1}}{B\left(\alpha,\beta\right)}
                   \end{equation}
em que  $0<x<1$ e $B\left(\alpha,\beta\right)$ representa a função beta,
\begin{equation}\label{Beta}
  \displaystyle B\left(\alpha,\beta\right)=\int ^{1}_{0}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt
\end{equation}
Simbolicamente, quando $X$ tem distribuição dada por (\ref{beta1}), escreve-se $X\sim BI(\alpha,\beta)$ ou apenas $X\sim B(\alpha,\beta)$.\\


\textbf{Distribuição beta tipo II}: Uma variável aleatória $X$ tem distribuição beta tipo II com parâmetros $\alpha>0$, $\beta>0$ e $\lambda>0$ quando sua função densidade de probabilidade (fdp) é da forma:
\begin{equation}\label{beta2}
 \displaystyle f\left(x\right)=\displaystyle \frac{{\lambda ^\beta  }}{{{\rm B}\left( {\alpha ,\beta } \right)}}x^{\alpha  - 1} \left( {\lambda  + x} \right)^{ - \left( {\alpha  + \beta } \right)}
\end{equation}
em que  $x>0$. Neste caso, escreve-se simbolicamente $X\sim BII(\alpha,\beta)$.

As duas distribuições beta estão relacionadas  intrinsecamente por meio de uma transformação. Várias características referentes aos dois modelos podem ser encontradas em \cite{beals,j}.

Além da fun\c c\~ao  beta, os c\'alculos envolvidos no trabalho incluem o uso de  outras fun\c c\~oes especiais como a fun\c c\~ao gama,
\begin{equation}\label{e1}
\Gamma (a)=\displaystyle \int\limits _0^\infty t^{\alpha -1}\exp (-t)dt
\end{equation}
a função psi,
\begin{equation}\label{psi}
\displaystyle \psi \left( \alpha  \right) = \frac{d}{{d\alpha }}\left[ {\ln \Gamma \left( \alpha  \right)} \right].
\end{equation}
a função  hipergeométrica confluente,
\begin{equation}\label{hip}
 {}_1F_1 \left( {a;b;x} \right)=\displaystyle \frac{{\Gamma \left( b \right)}}{{\Gamma \left( {b - a} \right)\Gamma \left( a \right)}}\int\limits_0^1 {t^{a - 1} \left( {1 - t} \right)^{b - a - 1} \exp \left( { - xt} \right)dt},
\end{equation}
com $0<a<b\,$ e $\,b\neq 0, -1,-2,\ldots$
e a função cilíndrica parabólica,
\begin{equation}\label{f cilind}
D_\upsilon \left( x \right) =\displaystyle \frac{{2^{\upsilon/2} \exp \left( { - x^2 /4} \right)}}{{\Gamma \left( { - \upsilon/2} \right)}}\int\limits_0^\infty  {t^{ - \left( {1 + \upsilon/2} \right)} \left( {1 + t} \right)^{  \upsilon/2 - 1/2} \exp \left( { \frac{- x^2 t}{2}} \right)dt}.
\end{equation}
As propriedades dessas funções especiais podem ser vistas em \cite{beals,OMS}. Serão ainda utilizados os  importantes lemas:
\begin{lemaTEMA}\label{prud1}
\textit{(Equação 2.3.6.1, \cite{pru})}. Se $a>0$,
\[\displaystyle\int\limits_0^a {x^{\alpha  - 1} \left( {a - x} \right)^{\beta  - 1} \exp \left( { - px} \right)dx}  = {\rm B}\left( {\alpha ,\beta } \right)a^{\alpha  + \beta  - 1} {}_1F_1 \left( {\alpha ;\alpha  + \beta ; - ap} \right).
\]
\end{lemaTEMA}

\begin{lemaTEMA}\label{lema1}
\textit{(Equação 2.3.15.1, \cite{pru})}. Se $\alpha>0$ e $\beta>0$,
\[
\displaystyle\int\limits_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}\exp\left(-rx^{2}-qx\right)dx=\Gamma(\alpha)(2r)^{-\alpha/2}\exp\left(\frac{q^{2}}{8r}\right)
D_{-\alpha}\left(\frac{q}{\sqrt{2r}}\right).
\]
\end{lemaTEMA}

\newsec{O modelo}

A distribuição bivariada gama beta tipo II tem função densidade de probabilidade (fdp) conjunta dada por:
\begin{equation}\label{gamabeta}
f\left( {x,y} \right) = \displaystyle Kx^{\alpha  - 1} y^{\beta  - 1} \exp \left[ { - \left( {ax + cxy} \right)} \right]
\end{equation}
com $x>0$, $y>0$,  $a>0$, $c>0$, $0<\beta<\alpha$ e $K$ é a constante de normalização definida por $$K =\displaystyle \frac{{c^\beta  a^{\alpha  - \beta } }}{{\Gamma \left( \beta  \right)\Gamma \left( {\alpha  - \beta } \right)}}.$$

Esse modelo pertence à família gama bivariada de Arnould (ver \cite{balak}) e com essa parametrização ainda não foi abordado na literatura.

Para verificar que \ref{gamabeta} corresponde a uma legítma fdp é preciso mostrar que:
\[
\displaystyle\int\limits_0^\infty  {\int\limits_0^\infty  {f\left( {x,y} \right)dxdy}  = 1}
\]

De fato,
\begin{eqnarray*}
\displaystyle \int\limits_0^\infty  {\int\limits_0^\infty  {f\left( {x,y} \right)dxdy}} &=& K\int\limits_0^\infty  {\int\limits_0^\infty  {x^{\alpha  - 1} y^{\beta  - 1} \exp \left[ { - \left( {ax + cxy} \right)} \right]dydx} }\\
%&=& K\int\limits_0^\infty  {x^{\alpha  - 1} \exp \left( { - ax} \right)\left[ {\int\limits_0^\infty  {y^{\beta  - 1} \exp \left( { - cxy} \right)dy} } \right]} dx \\
&=&\displaystyle  K\frac{{\Gamma \left( \beta  \right)}}{{c^\beta  }}\int\limits_0^\infty  {x^{\alpha  - \beta  - 1} \exp \left( { - ax} \right)} dx \\
&=& \displaystyle K\frac{{\Gamma \left( \beta  \right)}}{{c^\beta  }}\frac{{\Gamma \left( {\alpha  - \beta } \right)}}{{a^{\alpha  - \beta } }}=1.
\end{eqnarray*}

As fdps marginais de $X$ e $Y$ são respectivamente:
\begin{eqnarray}
f \left( x \right) &=& \int\limits_0^\infty  {f\left( {x,y} \right)dy}  = \int\limits_0^\infty  {Kx^{\alpha  - 1} y^{\beta  - 1} \exp \left[ { - \left( {ax + cxy} \right)} \right]} \,dy\nonumber\\
%&=& Kx^{\alpha  - 1} \exp \left( { - ax} \right)\int\limits_0^\infty  {y^{\beta  - 1} \exp } \,\left( { - cxy} \right)dy\nonumber\\
&=& \frac{{a^{\alpha  - \beta } }}{{\Gamma \left( {\alpha  - \beta } \right)}}x^{\alpha  - \beta  - 1} \exp \left( { - ax} \right)\label{fxGB}
\end{eqnarray}
%e
\begin{eqnarray}
f \left( y \right) &=& \displaystyle\int\limits_0^\infty  {f\left( {x,y} \right)dx}  = \int\limits_0^\infty  {Kx^{\alpha  - 1} y^{\beta  - 1} \exp \left[ { - \left( {ax + cxy} \right)} \right]} \,dx\nonumber\\
&=& \displaystyle \frac{{c^\beta  a^{\alpha  - \beta } \Gamma \left( \alpha  \right)}}{{\Gamma \left( \beta  \right)\Gamma \left( {\alpha  - \beta } \right)}}y^{\beta  - 1} \left[ {c\left( {\frac{a}{c} + y} \right)} \right]^{ - \alpha }\nonumber\\
&=& \displaystyle \frac{{\left( {{\raise0.7ex\hbox{$a$} \!\mathord{\left/
 {\vphantom {a c}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$c$}}} \right)^{\alpha  - \beta } }}{{{\rm B}\left( {\beta ,\alpha  - \beta } \right)}}y^{\beta - 1} \left( {\frac{a}{c}+ y} \right)^{ - \alpha }.\label{fyGB}
\end{eqnarray}

Portanto, $X \sim G\left( {\alpha  - \beta ,a} \right)\,$ e $\,Y \sim {\rm{BII}}\left( {\beta ,\alpha  - \beta ,{\raise0.7ex\hbox{$a$} \!\mathord{\left/
 {\vphantom {a c}}\right.\kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$c$}}} \right)$.


\subsection{Funções Densidade de Probabilidade}

Nos teoremas \ref{teorema1}, \ref{t2} e \ref{t3} são deduzidas as fdps das variáveis $U=X+Y$, $P=XY$ e $Q=X/(X+Y)$ quando $X$ e $Y$ seguem o modelo (\ref{gamabeta}).
\begin{teoTEMA}\label{teorema1}
Se $X$ e $Y$ são distribuídas conjuntamente de acordo com o (\ref{gamabeta}) e se $\alpha\geq2$ e $\beta\geq2$ são inteiros, então:
\begin{eqnarray*}
f\left( u \right)\hspace{-.2cm} &=&\hspace{-.2cm} \displaystyle Ku^{\alpha  + \beta  - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\}
\sum\limits_{m = 0}^{\alpha  - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{\beta  - 1} {\sum\limits_{j = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   j  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\beta  - 1}  \\
   n  \\
\end{array}} \right)} } \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\alpha  - 1}  \\
   m  \\
\end{array}} \right)}\times\\
& &\frac{{\theta ^{\alpha  + n - \left( {m + j + 1} \right)} }}{{m + j + 1}}\left[ { \theta ^{m + j - 1} \,{}_1F_1 \left( {\frac{{m + j + 1}}{2};\frac{{m + j + 3}}{2};cu^2 \theta ^2 } \right) + } \right.\\
&  &\left. { \,\left( {1 - \theta } \right)^{m + j - 1} \,{}_1F_1 \left( {\frac{{m + j + 1}}{2};\frac{{m + j + 3}}{2};cu^2 \left( {1 - \theta } \right)^2 } \right)} \right]
\end{eqnarray*}
para $0\leq\theta\leq1$ e
\begin{eqnarray*}
f\left( u \right)\hspace{-.2cm} &=&\hspace{-.2cm} \displaystyle Ku^{\alpha  + \beta  - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\}
\sum\limits_{m = 0}^{\alpha  - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{\beta  - 1} {\sum\limits_{j = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   j  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\beta  - 1}  \\
   n  \\
\end{array}} \right)} } \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\alpha  - 1}  \\
   m  \\
\end{array}} \right)}\times\\
& &\frac{{\theta ^{\alpha  + n - \left( {m + j + 1} \right)} }}{{m + j + 1}}\left[ {\left(1- \theta\right) ^{m + j - 1} \,{}_1F_1 \left( {\frac{{m + j + 1}}{2};\frac{{m + j + 3}}{2};cu^2 \left(1- \theta\right) ^2 } \right) - } \right.\\
&  &\left. { \theta ^{m + j - 1} \,{}_1F_1 \left( {\frac{{m + j + 1}}{2};\frac{{m + j + 3}}{2};cu^2  \theta ^2 } \right)} \right]
\end{eqnarray*}
para $\theta>1$, em que $u>0$ e $\theta=(a-cu)/(2cu)$.
\end{teoTEMA}

\begin{proof}
Sob a mudança de variáveis $\left(U,Q\right)=\left(X+Y,X/(X+Y)\right)$ o Jacobiano da transformação é dado por
\vspace{0.2cm}
\begin{equation}
J=\left|
    \begin{array}{cc}
     \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial u}{\partial y} \\ \\
      \displaystyle\frac{\partial q}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial q}{\partial y} \\
    \end{array}
  \right|=\left|
    \begin{array}{cc}
   1 & 1 \\ \\
      \displaystyle\frac{y}{(x+y)^{2}} &\displaystyle -\frac{x}{(x+y)^{2}} \\
    \end{array}
  \right|=\displaystyle -\frac{1}{x+y}
\end{equation}
Assim, a fdp conjunta de $\left(U,Q\right)=\left(X+Y,X/(X+Y)\right)$ é dada por
\begin{eqnarray}
\displaystyle f(u,q)&=&f_{X,Y}\left(uq,u(1-q)\right)\times|J|^{-1}\nonumber\\
 &=& Ku^{\alpha  + \beta  - 1} q^{\alpha  - 1} \left( {1 - q} \right)^{\beta  - 1} \exp \left\{ { - {auq - cu^2 q\left( {1 - q} \right)} } \right\}\nonumber\\
&=&Ku^{\alpha  + \beta  - 1} q^{\alpha  - 1} \left( {1 - q} \right)^{\beta  - 1} \exp\left\{ { - \left( {a + cu} \right)uq + cu^2 q^2 } \right\}
\nonumber\\
&=&Ku^{\alpha  + \beta  - 1} q^{\alpha  - 1} \left( {1 - q} \right)^{\beta  - 1}\exp \left\{ {cu^2 \left( {q - \theta } \right)^2  - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\}\label{UQGB}
\end{eqnarray}
Se $0\leq\theta\leq1$ então a fdp de $U$ é dada por:
\begin{eqnarray*}
f\left( u \right) &=& \displaystyle Ku^{\alpha  + \beta  - 1} \int\limits_0^1 {q^{\alpha  - 1} \left( {1 - q} \right)^{\beta  - 1}\exp \left\{ {cu^2 \left( {q - \theta } \right)^2  - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\}}dq\\
&=&\displaystyle Ku^{\alpha  + \beta  - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\} \int\limits_0^1 {q^{\alpha  - 1} \left( {1 - q} \right)^{\beta  - 1}\exp \left\{ {cu^2 \left( {q - \theta } \right)^2  } \right\}}dq\\
\end{eqnarray*}
Fazendo $y=\left({w-\theta}\right)^2$ temos:
\begin{eqnarray*}
f\left ( u \right)\hspace{-.2cm}&=&\hspace{-.2cm} \displaystyle 2^{-1}Ku^{\alpha  + \beta  - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\}
\left( {\int\limits_0^{\,\,\,\,\,\theta ^2 } { + \int\limits_0^{\left( {1 - \theta } \right)^2 } {} } } \right)\left( {\sqrt y  + \theta } \right)^{\alpha  - 1}\times\\
& &\left( {1 - \sqrt y  - \theta } \right)^{\beta  - 1} \exp \left\{ {cu^2 y} \right\}y^{ - 1/2} dy\\
\hspace{-1cm}&=&\hspace{-.3cm}\displaystyle 2^{-1}Ku^{\alpha  + \beta  - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\}\hspace{-.2cm}
\left( {\int\limits_0^{\,\,\,\,\,\theta ^2 } { + \int\limits_0^{\left( {1 - \theta } \right)^2 } {} } } \right)\sum\limits_{m = 0}^{\alpha  - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}c}
   \hspace{-.2cm}{\alpha  - 1}\hspace{-.2cm}  \\
  \hspace{-.2cm} m \hspace{-.2cm} \\
\end{array}} \right)\left( {\sqrt y } \right)^m \theta ^{\alpha  - m - 1} }\times\\
& & \sum\limits_{n = 0}^{\beta  - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\beta  - 1}  \\
   n  \\
\end{array}} \right)\left( {\sqrt y  + \theta } \right)^n } \exp \left\{ {cu^2 y} \right\}y^{ - 1/2} dy\\
%&=&\displaystyle 2^{-1}Ku^{\alpha  + \beta  - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\} \times \\
%& &\left( {\int\limits_0^{\,\,\,\,\,\theta ^2 } { + \int\limits_0^{\left( {1 - \theta } \right)^2 } {} } } \right)\sum\limits_{m = 0}^{\alpha  - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}c}
%   {\alpha  - 1}  \\
%   m  \\
%\end{array}} \right)y^{m/2} \theta ^{\alpha  - m - 1} } \sum\limits_{n = 0}^{\beta  - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}c}
%   {\beta  - 1}  \\
%   n  \\
%\end{array}} \right)\sum\limits_{j = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
%   n  \\
%   j  \\
%\end{array}} \right)y^{j/2} \theta ^{n - j} } } \exp \left\{ {cu^2 y} \right\}y^{ - 1/2} dy\\
&=&\hspace{-.3cm}\displaystyle 2^{-1}Ku^{\alpha  + \beta  - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\}
\sum\limits_{m = 0}^{\alpha  - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{\beta  - 1} {\sum\limits_{j = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   j  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\beta  - 1}  \\
   n  \\
\end{array}} \right)} } \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\alpha  - 1}  \\
   m  \\
\end{array}} \right)}
\times\\
& &\frac{{\theta ^{\alpha  + n - \left( {m + j + 1} \right)} }}{{m + j + 1}}\left( {\int\limits_0^{\,\,\,\,\,\theta ^2 } { + \int\limits_0^{\left( {1 - \theta } \right)^2 } {} } } \right)y^{\frac{m+j-1}{2}}\exp \left\{ {cu^2 y} \right\}dy\\
\end{eqnarray*}
Aplicando o lema (\ref{prud1}) à integral acima, obtém-se:
\begin{eqnarray*}
f\left( u \right)\hspace{-.2cm} &=&\hspace{-.2cm} \displaystyle Ku^{\alpha  + \beta  - 1}\exp \left\{ { - \frac{{\left( {a + cu} \right)^2 }}{{4c}}} \right\}
\sum\limits_{m = 0}^{\alpha  - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{\beta  - 1} {\sum\limits_{j = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   j  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\beta  - 1}  \\
   n  \\
\end{array}} \right)} } \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\alpha  - 1}  \\
   m  \\
\end{array}} \right)}\times\\
& &\frac{{\theta ^{\alpha  + n - \left( {m + j + 1} \right)} }}{{m + j + 1}}\left[ { \theta ^{m + j - 1} \,{}_1F_1 \left( {\frac{{m + j + 1}}{2};\frac{{m + j + 3}}{2};cu^2 \theta ^{m + j - 1} } \right) + } \right.\\
&  &\left. { \,\left( {1 - \theta } \right)^{m + j - 1} \,{}_1F_1 \left( {\frac{{m + j + 1}}{2};\frac{{m + j + 3}}{2};cu^2 \left( {1 - \theta } \right)^{m + j - 1} } \right)} \right]
\end{eqnarray*}
O resultado para $\theta>1$ é obtido similarmente.
\end{proof}

\begin{teoTEMA}\label{t2}
Se $X$ e $Y$ são distribuídas conjuntamente de acordo com  (\ref{gamabeta}), então: \vspace{-.3cm}
\begin{eqnarray*}
f\left( q \right) &=& Kq^{\alpha  - 1} \left( {1 - q} \right)^{\beta  - 1} \Gamma \left( {\alpha  + \beta } \right)\left[ {2cq\left( {1 - q} \right)} \right]^{ - \frac{{\alpha  + \beta }}{2}} \exp \left[ {\frac{{\left( {aq} \right)^2 }}{{8cq\left( {1 - q} \right)}}} \right]\times \\
&&D_{ - \left( {\alpha  + \beta } \right)} \left( {\frac{{aq}}{{\sqrt {2cq\left( {1 - q} \right)} }}} \right),
\end{eqnarray*}
em que $0<q<1$.
\end{teoTEMA}
\begin{proof}
De (\ref{UQGB}) tem-se que a distribuição de $Q$ é dada por:
\begin{eqnarray*}
f \left( q \right) &=&\int\limits_0^\infty  {f\left( {u,q} \right)du}\\
& =& Kq^{\alpha  - 1} \left( {1 - q} \right)^{\beta  - 1} \int\limits_0^\infty  {u^{\alpha  + \beta  - 1} \exp \left\{ { - \left[ {auq + cq\left( {1 - q} \right)u^2 } \right]} \right\}du}.
\end{eqnarray*}
O resultado segue da aplicação do lema (\ref{lema1}) à integral.
\end{proof}

\begin{teoTEMA}\label{t3}
Se $X$ e $Y$ são distribuídas conjuntamente de acordo com o (\ref{gamabeta}), então:
\[
f \left( p \right) =\displaystyle \frac{{c^\beta  }}{{\Gamma \left( \beta  \right)}}p^{\beta  - 1} \exp \left( { - cp} \right)
\]
em que $p>0$.
\end{teoTEMA}
\begin{proof}
Sob a mudança de variáveis $\left(X,P\right)=\left(X,XY\right)$ o Jacobiano da transformação é dado por
\begin{equation}
J=\left|
    \begin{array}{cc}
     \displaystyle \frac{\partial x}{\partial x} &\displaystyle \frac{\partial x}{\partial y} \\ \\
     \displaystyle \frac{\partial p}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial p}{\partial y} \\
    \end{array}
  \right|=\left|
    \begin{array}{cc}
      1 & 0 \\ \\
      y & x \\
    \end{array}
  \right|=x
\end{equation}
Assim, a fdp conjunta de $\left(X,P\right)$ é dada por
\begin{eqnarray}
\displaystyle f_{X,P}(x,p)&=&f_{X,Y}\left(x,\frac{p}{x}\right)\times|J|^{-1}\nonumber\\
&=&\displaystyle Kx^{\alpha  - \beta  - 1} p^{\beta  - 1} \exp \left[ { - \left( {ax + cp} \right)} \right].
\end{eqnarray}
Deste modo, a fdp de $P$ é
\begin{eqnarray}
f \left( p \right) &=&\displaystyle \int\limits_0^\infty  {Kx^{\alpha  - \beta  - 1} p^{\beta  - 1} \exp \left[ { - \left( {ax + cp} \right)} \right]dx}\nonumber\\
& =& Kp^{\beta  - 1} \exp \left( { - cp} \right)\int\limits_0^\infty  {x^{\alpha  - \beta  - 1} \exp \left( { - ax} \right)dx}\nonumber\\
&=& \frac{{c^\beta  }}{{\Gamma \left( \beta  \right)}}p^{\beta  - 1} \exp \left( { - cp} \right).\nonumber
\end{eqnarray}
\end{proof}

\subsection{Momentos}
Nesta seção são deduzidos os momentos das variáveis $U=X+Y$ e $P=XY$  quando $X$ e $Y$ seguem o modelo gama beta II. Para isso, precisamos do seguinte lema.
\begin{lemaTEMA}\label{lemaGB}
Se $X$ e $Y$ têm distribuição conjunta dada pelo modelo (\ref{gamabeta}), então:
\begin{eqnarray*}
E\left[ {X^n Y^m } \right]=\displaystyle \frac{{a^{m - n} \,\Gamma \left( {\beta  + m} \right)\Gamma \left( {\alpha  + n - \beta  - m} \right)}}{{c^m \Gamma \left( \beta  \right)\Gamma \left( {\alpha  - \beta } \right)}}
\end{eqnarray*}
para os inteiros $n\geq 1$ e $1\leq m \leq n$.
\end{lemaTEMA}

\begin{proof}
 Sob o modelo (\ref{gamabeta}), tem-se que:
\begin{eqnarray*}
 E\left[ {X^n Y^m } \right] &=&\displaystyle \int\limits_0^\infty  {\int\limits_0^\infty  {x^n y^m f\left( {x,y} \right)dydx} }\\
 &=&\displaystyle \int\limits_0^\infty  {\int\limits_0^\infty  {Kx^{\alpha  + n - 1} y^{\beta  + m - 1} \exp \left[ { - \left( {ax + cxy} \right)} \right]} \,dydx} \\
 &=&\displaystyle K\int\limits_0^\infty  {x^{\alpha  + n - 1} \exp \left( { - ax} \right)\left[ {\int\limits_0^\infty  {y^{\beta  + m - 1} \exp \left( { - cxy} \right)} \,dy} \right]dx}\\
 &=&\displaystyle K\int\limits_0^\infty  {x^{\alpha  + n - 1} \exp \left( { - ax} \right)\frac{{\Gamma \left( {\beta  + m} \right)}}{{\left( {cx} \right)^{\beta  + m} }}dx}\\
 %&=&\displaystyle \frac{{K\Gamma \left( {\beta  + m} \right)}}{{c\,^{\beta  + m} }} \cdot \frac{{\Gamma \left( {\alpha  + n - \beta  - m} \right)}}{{a^{\alpha  + n - \beta  - m} }}\\
 &=&\displaystyle \frac{{a^{m - n} \,\Gamma \left( {\beta  + m} \right)\Gamma \left( {\alpha  + n - \beta  - m} \right)}}{{c^m \Gamma \left( \beta  \right)\Gamma \left( {\alpha  - \beta } \right)}}\hspace{0.5cm} {\rm{com}}\,\,\, m\leq n.
\end{eqnarray*}
\end{proof}
Em particular, para $n=m=1$ obtém-se:
\begin{eqnarray*}
E\left[ {X Y } \right]&=&\displaystyle \frac{{\Gamma \left( {\beta  + 1} \right)\Gamma \left( {\alpha   - \beta  } \right)}}{{c\,\Gamma \left( \beta  \right)\Gamma \left( {\alpha  - \beta } \right)}}=\displaystyle \frac{\beta}{c}.
\end{eqnarray*}

\begin{teoTEMA}\label{TGB}
Se $X$ e $Y$ são distribuídas conjuntamente de acordo com (\ref{gamabeta}) então:
\begin{eqnarray*}
E\left[ {U^n } \right] =\displaystyle \sum\limits_{j = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   j  \\
\end{array}} \right)\frac{{a^n \,\Gamma \left( {\beta  + n - j} \right)\Gamma \left( {\alpha  + 2j - \beta } \right)}}{{c^{n - j\,} \Gamma \left( \beta  \right)\Gamma \left( {\alpha  - \beta } \right)}}}
 \end{eqnarray*}
para todo inteiro $n\geq 1$.
\end{teoTEMA}

\begin{proof} Tem-se que:
\begin{equation}
E\left[ {U^n } \right] = \displaystyle E\left[ {\left( {X + Y} \right)^n } \right] = \sum\limits_{j = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c}
   n  \\
   j  \\
\end{array}} \right)E\left[ {X^j Y^{n - j} } \right].}
\end{equation}
O resultado segue da aplicação do lema (\ref{lemaGB}).
\end{proof}

\begin{teoTEMA}\label{TGB2}
Se $X$ e $Y$ são distribuídas conjuntamente de acordo com (\ref{gamabeta}) então:
\begin{eqnarray*}
E\left[ {P^n } \right] =\displaystyle \frac{{\Gamma \left( {\beta  + n} \right)}}{{c^{n\,} \Gamma \left( \beta  \right)}}
\end{eqnarray*}
para todo inteiro $n\geq 1$.
\end{teoTEMA}
\begin{proof}
 É dado que: $E\left[ {P^n } \right] = E\left[ {\left( {XY} \right)^n } \right] = E\left[ {X^n Y^n } \right]$. O resultado segue da aplicação do lema (\ref{lemaGB}) para $m=n$.
\end{proof}

\subsection{Estimação}
Seja $\left( {x_1 ,y_1 } \right),\left( {x_2 ,y_2 } \right), \ldots ,\left( {x_n ,y_n } \right)$ uma amostra aleatória da variável aleatória $(X,Y)$ com distribuição conjunta expressa por (\ref{gamabeta}). A função de verossimilhança é:
\begin{eqnarray}
L &=&\displaystyle \prod\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i ,y_i } \right)}  = \prod\limits_{i = 1}^n {Kx_i^{\alpha  - 1} y_i^{\beta  - 1} \exp \left[ { - \left( {ax_i  + cx_i y_i } \right)} \right]}\nonumber\\
&=&\displaystyle K^n \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {x_i^{\alpha  - 1} y_i^{\beta  - 1} } \right)\exp \left[ { - \left( {a\sum\limits_{i = 1}^n {x_i }  + c\sum\limits_{i = 1}^n {x_i y_i } } \right)} \right].}\label{Ver}
\end{eqnarray}
Tomando o logaritmo da função de verossimilhança obtém-se:
\begin{equation}\nonumber
\ln \left( L \right) =\displaystyle n\ln \left( K \right) + \left( {\alpha  - 1} \right)\hspace{-.1cm}\sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left( {x_i } \right)}  + \left( {\beta  - 1} \right)\sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left( {y_i } \right)}  - a\sum\limits_{i = 1}^n {x_i }  - c\sum\limits_{i = 1}^n {x_i } y_i.
\end{equation}
Assim,
\begin{eqnarray}
\frac{{\partial \ln \left( L \right)}}{{\partial a}} &=& \displaystyle \frac{{n\left( {\alpha  - \beta } \right)}}{a} - \sum\limits_{i = 1}^n {x_i };\nonumber\\
\frac{{\partial \ln \left( L \right)}}{{\partial c}} &=& \displaystyle\frac{{n\beta }}{c} - \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } y_i;\nonumber\\
\frac{{\partial \ln \left( L \right)}}{{\partial \alpha }} &=&\displaystyle n\ln \left( a \right) - n\psi \left( {\alpha  - \beta } \right) + \sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left( {x_i } \right);}\nonumber\\
\frac{{\partial \ln \left( L \right)}}{{\partial \beta }} &=& n\ln \left( c \right) - n\ln \left( a \right) - n\psi \left( \beta  \right) + n\psi \left( {\alpha  - \beta } \right) + \sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left( {y_i } \right),}\nonumber
\end{eqnarray}
em que $\psi(\cdot)$ denota a função psi definida em (\ref{psi}).

Os estimadores de máxima verossimilhança dos parâmetros $a$, $c$, $\alpha$ e $\beta$, são as soluções do sistema de equações:

\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\hspace{-5.2cm}\displaystyle\frac{{n\left( {\hat \alpha  - \hat \beta } \right)}}{{\hat a}} - \sum\limits_{i = 1}^n {x_i }  = 0}  \\
   {\hspace{-6.2cm}\displaystyle\frac{{n\hat \beta }}{{\hat c}} - \sum\limits_{i = 1}^n {x_i } y_i  = 0}  \\
   {\hspace{-3.1cm}\displaystyle n\ln \left( {\hat a} \right) - n\psi \left( {\hat \alpha  - \hat \beta } \right) + \sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left( {x_i } \right)}  = 0}  \\
   {\displaystyle n\ln \left( {\hat c} \right) - n\ln \left( {\hat a} \right) - n\psi \left( {\hat \beta } \right) + n\psi \left( {\hat \alpha  - \hat \beta } \right) + \sum\limits_{i = 1}^n {\ln \left( {y_i } \right)}  = 0}  \\
\end{array}} \right.
\]

A solução do sistema de equações de máxima verossimilhança pode ser obtida numericamente através de um software de computação algébrica.

\newsec{Aplicação}
Nesta seção é feita uma aplicação do modelo  na análise de dados de precipitações pluviométricas ocorridas na cidade de Passo Fundo, Estado do Rio Grande do Sul.

Os dados explorados correspondem a medições diárias de precipitação pluviométrica (mm) no período de Julho de 2009 a Julho de 2011, totalizando 730 observações. Os  dados foram coletados pelo Laboratório de Meteorologia Aplicada à Agricultura da Embrapa Trigo, Passo Fundo - RS, (latitude: $28^\circ 15' 46''$ S; longitude: $52^\circ 24' 24''$ W; altitude: $684$m) e encontram-se disponíveis livremente para download no endereço eletrônico http://www.cnpt.embrapa.br/pesquisa/agromet.

Utilizando  as medições do \'{\i}ndice pluviométrico, obtém-se os dados  sobre  per\'{\i}odo de dias com ocorrência de precipitações $(X)$ e per\'{\i}odo cont\'{\i}guo de dias sem ocorrência de precipitação $(Y)$.  O objetivo é modelar as variáveis $X$, $Y$ e o período climático $U$. O período climático indica um ciclo climático, formado pela soma dos dias sem chuva com os dias contíguos com chuva, essa quantidade também indica o retorno do período de chuva.

O ajuste das distribuições foi feito via Método da Máxima Verossimilhança. Se $\left(x_{1},y_{1}\right),\ldots , \left(x_{n},y_{n}\right)$ é uma amostra aleatória de (\ref{gamabeta}), as estimativas dos parâmetros do modelo são: $\hat{\alpha}=3.391$, $\hat{\beta}=1.284$, $\hat{a}=0.865$ e $\hat{c}=0.190$.

As fdps ajustadas de $X$, $Y$ e $U$ e os respectivos gráficos de probabilidades observadas versus probabilidades esperadas, são apresentadas nas figuras \ref{fig1}, \ref{fig2} e \ref{fig3}.

\begin{figure}[h]
\centering %
\subfigure[fdp ajustada de $X$]{\scalebox{1}{\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{MAXGB.eps}} } %
\hspace{1cm} %
\subfigure[p-pplot para a variável $X$]{\scalebox{1}{\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{PPXGB.eps}} } %
\vspace{-.4cm} 
\caption{ Ajuste da fdp e respectivo gráfico de probabilidades para o período com ocorrência de precipitação  } %
\label{fig1}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
\centering %
\subfigure[fdp ajustada de $Y$]{\scalebox{1}{\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{MAYGB.eps}} } %
\hspace{1cm}  %
\subfigure[p-pplot para a variável $Y$]{\scalebox{1}{\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{PPYGB.eps}} } %
\vspace{-.4cm} 
\caption{Ajuste da fdp e respectivo gráfico de probabilidades para o período sem ocorrência de precipitação } %
\label{fig2}
\end{figure}
\begin{figure}[h]
\centering %
\subfigure[fdp ajustada de $U$]{\scalebox{1}{\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{UAGB.eps}} } %
\hspace{1cm}  %
\subfigure[p-pplot para a variável $U$]{\scalebox{1}{\includegraphics[height=4cm,width=4cm]{PPUGB.eps}} } %
\vspace{-.4cm} 
\caption{Ajuste da fdp e respectivo gráfico de probabilidades para o período climático} %
\label{fig3}
\end{figure}

Os gráficos das distribuições ajustadas e de probabilidade, figuras \ref{fig1}, \ref{fig2} e \ref{fig3}, sugerem um bom ajuste para as variáveis período de chuva $(X)$, período sem ocorrência de chuva $(Y)$ e  período climático $(U)$, pelo gama beta tipo II. Deste modo temos que o modelo bivariado gama beta II apresenta-se como uma alternativa na análise de dados de precipitação pluviométrica.

\newsec{Conclusões}
Considerando que $X$ e $Y$ seguem o modelo bivariado gama beta II, foi possível deduzir as distribuições exatas e os momentos das variáveis aleatórias
$U = X +Y$, $P = XY$ e $Q = Y=(X +Y)$ utilizando funções especiais. A aplicação do modelo na análise de dados de precipitações ocorridas na cidade de Passo Fundo
 do Estado do Rio Grande do Sul apresentou resultados satisfatórios, levando-se em consideração que os critérios gráficos de qualidade de ajuste indicaram
uma boa adequação do modelo aos dados observados.


\begin{abstract}
{\bf Abstract}. Bivariate gamma distributions have been used successfully on modeling  hydrological processes. In this work, supposing that $X$ and $Y$ follow the Crovelli's bivariate gamma model, we deduce the exact distributions of the functions $U=X+Y$, $P=XY$ and $Q=X/(X+Y)$, as well as their respective moments. Those functions describe important hidrological variables.
\end{abstract}

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\end{thebibliography}
\end{document}
\newpage
$ \  \  $  \thispagestyle{myheadings}  \markboth{      }{   }
